Расчет основных характеристик

Рассмотрим аналитические модели наиболее распространенных СМО с ожиданием, т. е. таких СМО, в которых требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов.

Общая постановка задачи состоит в следующем. Система имеет n обслуживающих каналов, каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование.

В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром (- количество поступающих заявок в единицу времени, 1/ - среднее время появления одного клиента). Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше п требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.

Время обслуживания каждого требования 1/ — случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром (количество обслуживаемых клиентов в единицу времени).

СМО с ожиданием можно разбить на две большие группы: замкнутые и разомкнутые. К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований возникает в самой системе и ограничен. Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным. Расчет характеристик работы СМО различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний СМО (так называемые формулы Эрланга).

Рассмотрим алгоритмы расчета показателей качества функционирования разомкнутой системы массового обслуживания с ожиданием.

При изучении таких систем рассчитывают различные показатели эффективности обслуживающей системы. В качестве основных показателей могут быть вероятность того, что все каналы свободны или заняты, математическое ожидание длины очереди (средняя длина очереди), коэффициенты занятости и простоя каналов обслуживания и др.

Введем в рассмотрение параметр = / - нагрузка системы (среднее количество каналов, необходимое для обслуживания всех поступающих в единицу времени требований). Заметим, что если / n < 1, то очередь не растет безгранично. Это условие означает, что число обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требования. Для одноканальной системы (n =1) данное условие будет выглядеть <1. Тогда основные характеристики системы массового обслуживания определяются по формулам:

1. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:

.

2. Вероятность того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находящихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих аппаратов:

при 1? k? n.

3. Вероятность того, что в системе находится k требований в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов:

при k? n.

4. Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:

.

5. Среднее время ожидания требованием начала обслуживания в системе (коэффициент простоя очереди):

6. Средняя длина очереди:

7. Среднее число свободных от обслуживания каналов:

8. Коэффициент простоя каналов:

.

9. Среднее число занятых обслуживанием каналов:

10. Коэффициент загрузки каналов:

Для замкнутых систем вышеописанные характеристики рассчитываются несколько иначе (разобрать самостоятельно).

Вышеописанные характеристики удобно использовать при проектировании СМО. После проведенных вычислений данные по различным полученным вариантам сводят в таблицы. Окончательное решение о выборе дисциплины очереди, количестве каналов их пропускной способности принимается лицом принимающим решение (ЛПР) и может зависеть от множества, в том числе и субъективных факторов.