Оболочечная модель. 
Модели атомных ядер

Оболочечная модель ядра — теория, основанная на представлении о ядре как о системе нуклонов, движущихся в некотором среднем потенциальном поле, создаваемом другими нуклонами.

Эта теория появилась в 1930;х годах по аналогии с атомной моделью оболочек, согласно которой электроны наполняют электронные оболочки, и, как только оболочка заполнена, значительно понижается энергия связи для следующего электрона. При увеличении количества нуклонов (протонов или нейтронов) в ядре существуют определенные числа, при которых энергия связи следующего нуклона намного меньше, чем последнего. Особой устойчивостью отличаются атомные ядра, содержащие магические числа 2, 8, 20, 28, 50, 82, 114, 126, 164 для протонов и 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, 184, 196, 228, 272, 318 для нейтронов. Протонные и нейтронные оболочки в таких ядрах заполнены, как и электронные у атомов благородных газов. Согласно оболочечной модели ядра, каждый нуклон находится в ядре в определенном индивидуальном квантовом состоянии, характеризуемом энергией, моментом вращения j его проекцией m на одну из координатных осей и орбитальным моментом вращения. Энергия уровня не зависит от проекции момента вращения на внешнюю ось. Полный момент вращения заполненной оболочки равен нулю. Поэтому если ядро составлено только из заполненных протонных и нейтронных оболочек, то его спин будет также равен нулю. Всякий раз, когда количество протонов или нейтронов достигает магического числа, отвечающего заполнению очередной оболочки, возникает возможность скачкообразного изменения некоторых характеризующих ядро величин (в частности, энергии связи). Это создает подобие периодичности в свойствах ядер в зависимости от A и Z, аналогичной периодическому закону для атомов. В обоих случаях физической причиной периодичности является Принцип Паули, запрещающий двум тождественным фермионам находиться в одном и том же состоянии. Однако оболочечная структура у ядер проявляется слабее, чем в атомах. Это происходит главным образом потому, что в ядрах индивидуальные квантовые состояния частиц («орбиты») возмущаются взаимодействием («столкновениями») их друг с другом гораздо сильнее, чем в атомах. Известно, что большое число ядерных состояний не похоже на совокупность движущихся в ядре независимо друг от друга нуклонов, то есть не может быть объяснено в рамках оболочечной модели.

В этой связи в оболочечную модель вводится понятие квазичастиц — элементарных возбуждений среды, эффективно ведущих себя во многих отношениях подобно частицам. При этом атомное ядро рассматривается как ферми-жидкость конечных размеров. Ядро в основном состоянии рассматривается как вырожденный ферми-газ квазичастиц, которые эффективно не взаимодействуют друг с другом, поскольку всякий акт столкновения, изменяющий индивидуальные состояния квазичастиц, запрещен принципом Паули. В возбужденном состоянии ядра, когда квазичастицы находятся на более высоких индивидуальных энергетических уровнях, эти частицы, освободив орбиты, занимавшиеся ими ранее внутри ферми-сферы, могут взаимодействовать как друг с другом, так и с образовавшейся дыркой в нижней оболочке. В результате взаимодействия с внешней квазичастицей может происходить переход квазичастиц из заполненных состояний в незаполненное, вследствие чего старая дырка исчезает, а новая появляется; это эквивалентно переходу дырки из одного состояния в другое. Таким образом, согласно оболочечной модели, основывающейся на теории квантовой ферми-жидкости, спектр нижних возбужденных состояний ядер определяется движением квазичастиц вне ферми-сферы и взаимодействием их друг с другом и с дырками внутри ферми-сферы. Этим самым объяснение структуры многонуклонного ядра при небольших энергиях возбуждения фактически сводится к квантовой проблеме взаимодействующих тел (квазичастица — дырка или две квазичастицы — две дырки). Трудность теории состоит в том, что взаимодействие квазичастиц и дырок не мало, и потому нет уверенности в невозможности появления низкоэнергетического возбужденного состояния, обусловленного большим числом квазичастиц вне ферми-сферы.

В других вариантах оболочечной модели вводится эффективное взаимодействие между квазичастицами в каждой оболочке, приводящее к перемешиванию первоначальных конфигураций индивидуальных состояний. Это взаимодействие учитывается по методике теории возмущений справедливой для малых возмущений. Внутренняя непоследовательность такой схемы состоит в том, что эффективное взаимодействие, необходимое теории для описания опытных фактов, оказывается отнюдь не слабым. Кроме того, увеличивается число эмпирически подбираемых параметров модели. Также оболочечные модели модифицируются иногда введением различного рода дополнительных взаимодействий (например, взаимодействия квазичастиц с колебаниями поверхности ядра) для достижения лучшего согласия теории с экспериментом.

Оболочечная модель ядра является полуэмпирической схемой, позволяющей понять некоторые закономерности в структуре ядер, но не способной последовательно количественно описать свойства ядра. В частности, ввиду перечисленных трудностей непросто выяснить теоретически порядок заполнения оболочек, а следовательно, и магические числа, которые служили бы аналогами периодов таблицы Менделеева для атомов. Порядок заполнения оболочек зависит от характера силового поля, которое определяет индивидуальные состояния квазичастиц, и от смешивания конфигураций. Последнее обычно принимается во внимание лишь для незаполненных оболочек. Наблюдаемые на опыте магические числа общие для нейтронов и протонов (2, 8, 20, 28, 40, 50, 82, 126) отвечают квантовым состояниям квазичастиц, движущихся в прямоугольной или осцилляторной потенциальной яме со спин-орбитальным взаимодействием (именно благодаря ему и возникают числа 28, 40, 82, 126).

Обобщенная модель Ограничусь рассмотрением предельного варианта этой модели, в котором предполагается:

Сильная связь внешних, по отношению к заполненным оболочкам, нуклонов с поверхностью остова, в результате чего возникает устойчивая равновесная деформация ядра. При этом будем считать, что деформированное ядро имеет форму эллипсоида вращения.

Выполнение условия адиабатичности (медленности) вращения деформированного ядра по отношению к характерным скоростям внутреннего движения: вращ<< внутр.

Возможность приближенного описания движения нуклонов во внутренней, вращающейся системе координат в рамках одночастичной оболочечной модели путем введения деформированной потенциальной ямы.

В рассматриваемой модели учитываются два типа ядерных движений: коллективное вращение ядра относительно внешней системы координат (x, y, z), обусловленное его деформацией, и одночастичное движение нуклонов относительно внутренней, вращающейся системы координат (1,2, 3) в деформированной потенциальной яме.

Полный момент количества движения ядра складывается из коллективного вращательного момента ядра и внутреннего момента нуклонов ':

=+'.

ядро сила нуклон энергия Моменты 'и прецессируют вокруг направления полного момента количества движения. Так как аксиально-симметричное эллипсоидальное ядро может вращаться только вокруг оси перпендикулярной к оси симметрии 3, то из этого вытекает (см. рис. 6.1), что вектор перпендикулярен оси 3 и проекции полного и внутреннего угловых моментов на ось симметрии должны быть равны между собой:

J3 = J'3 = K.

Рис. 2 — Сложение моментов в сфероидально деформированном ядре

Раньше шла речь о том (см. раздел 4), что момент количества движения в квантовой механике характеризуют двумя квантовыми числами: величиной J и проекцией M на некоторую фиксированную ось квантования z. Более точно фиксировать направление углового момента в пространстве нельзя. Однако, если физическая система обладает аксиальной симметрией, ее угловой момент может иметь определенные проекции (M, K) одновременно и на неподвижную ось z и на вращающуюся ось симметрии 3. Появление нового квантового числа K обусловлено дополнительной ротоционной симметрией системы.

Итак, состояние движения аксиально-симметричного ядра (|JMK>) можно характеризовать набором квантовых чисел, J, M, K, где — квантовые числа, определяющие, наряду с K, внутреннее состояние нуклонной системы (это может быть, например, перечень одночастичных уровней деформированного потенциала, занимаемых нуклонами в рассматриваемом состоянии). Энергетические уровни ядра (2J + 1) раз вырождены по квантовому числу M, так как энергия ядра не зависит от ориентации спина относительно внешней системы координат. Проекция K полного углового момента на ось симметрии создается за счет внутреннего движения нуклонов (см. (6.2)), поэтому энергия ядра, вообще говоря, зависит от квантового числа K. Однако, в таком ядре будут вырождены состояния, отличающиеся только знаком K, так как выбор положительного направления оси 3 физически не определен: аксиально-симметричное эллипсоидальное ядро обладает плоскостью симметрии перпендикулярной к оси 3. На самом деле, из двух вырожденных (± K)-состояний нужно построить одно истинное ядерное состояние, являющиеся их линейной комбинацией, которое остается инвариантным при отражениях в плоскости симметрии и поворотах на вокруг оси перпендикулярной к оси 3. Поэтому мы будем считать, что волновая функция ядра характеризуется K > 0. Ниже мы покажем, что каждое внутреннее состояние с определенным значением K > 0 может стать основой для возникновения серии вращательных уровней.

Полную энергию деформированного ядра можно представить в виде суммы энергии коллективного вращения относительно внешней системы координат и энергии движения нуклонов относительно внутренней системы координат:

E = (2)/(2) + Eодн = (- ')2/(2) + Eодн = Eвращ + Eвнутр + Eвзаим (6.3).

Eвращ = (2 — J23)/(2) (6.4).

— собственно вращательная энергия (этот член зависит только от угловых, коллективных переменных, характеризующих ориентацию ядра относительно внешней системы координат);

(6.5).

— внутренняя энергия ядра (она зависит только от переменных, характеризующих движение нуклонов во внутренней системе координат);

Eвзаим = -2(J1J'1 + J2J'2)/(2) (6.6).

— член, который описывает взаимодействие внутренних и вращательных степеней свободы (так называемое взаимодействие Кориолиса).

В квантовой механике величине (6.3) ставится в соответствие оператор энергии, называемый также гамильтонианом; при этом угловые моменты и ' рассматриваются как операторы (см. определение оператора проекции момента количества движения в разделе.

Оператор Евзаим, вообще говоря, смешивает различные внутренние состояния ядра друг с другом. Действительно, входящие в Евзаим операторы проекций угловых моментов J1, J'1,… меняют проекцию K угловых моментов и ' на ось симметрии 3 (см. 6.2) на величину K = ± 1. Поэтому силы Кориолиса могут смешивать внутренние нуклонные состояния, у которых значения К отличаются на 1. Мера энергетического воздействия сил (6.6) на внутреннее движение нуклонов определятся величиной ~ 2/(2) ~ 2щвращ. Характерная энергия перехода для смешиваемых состояний равна |Eодн (К) — Еодн (К ± 1)|. Из этого следует, что взаимодействием внутреннего и вращательного движения нуклонов можно пренебречь тогда и только тогда, когда выполняется условие адиабатичности щвращ<. Так как при адиабатическом вращении внутреннее состояние ядра не меняется, то при усреднении получим следующий результат:

E = {2[J (J + 1) — K2]/(2A) + K,½A (J)}+ Eвнутр (6.7).

где A (J) = (Eвзаим)ср. при К=½ — поправка к вращательной энергии, возникающая в состояниях сК =½ из-за действия сил Кориолиса, K,½ — символ Кронекера. Происхождение поправки A (J) легко понять. Действительно, силы Кориолиса, как отмечалось выше, меняют проекцию K угловых моментови ' на ось симметрии ядра на величину K = ± 1. Поэтому при действии оператора Евзаим на состояние |JMK> будут рождаться состояния |JMK+1>и |JM|K-1|> (напомним, что каждое истинное ядерное состояние представляет суперпозицию ± К компонент, вследствие чего характеризуется модулем квантового числа К). Если ни одно из этих состояний не идентично исходному состоянию, то среднее от оператора Евзаим по состоянию|JMK> будет равно 0. Это имеет место при К > 3/2. При К = ½ состояние |JMK> = | JM|K-1|>, поэтому A (J) = (Eвзаим)ср. при К=½ 0. Поправка A (J) должна быть линейной функцией J, так как оператор Eвзаим зависит от проекций углового момента линейным образом. Ее конкретное значение зависит от структуры внутренней волновой функции состояния |JMK=½>.

Из формулы (6.7) видно, что каждое внутреннее состояние, характеризуемое энергией Евнутр и проекцией J'3 = K внутреннего момента количества движения на ось симметрии ядра, может стать основой для возникновения серии вращательных уровней, которые обычно называют вращательной полосой. Если K > 0 угловые моменты вращательных состояний могут принимать значения J = K, K + 1, K + 2,… При K = 0 возможны только четные значения угловых моментов вращательных состояний: J = 0, 2, 4, 6,… (доказательство этого результата полностью аналогично доказательству, проведенному в разделе 5.2 для аксиально-симметричного ротатора). На рисунках 6.2 и 6.3 показаны экспериментальные примеры вращательных полос, базирующихся на разных внутренних состояниях нечетного и четно-четного ядер.

Рис. 3 — Энергетические уровни ядра 249Bk. Слева изображены все наблюдаемые уровни в энергетическом интервале 0−600 КэВ. Справа приведено разбиение этих уровней на три вращательных полосы

Рис. 4.

Займемся далее проблемой описания внутреннего движения нуклонов во вращающейся системе координат (1, 2, 3). В соответствии с допущением 3) внутреннее движение можно приближено свести к одночастичному движению нуклонов в аксиально-симметричном деформированном потенциале. В качестве такового будем использовать деформированный потенциал Нильссона (1955 г.):

(6.8).

где x1, x2 и x3 — координаты нуклона во внутренней системе координат.

Первый член в выражении (6.8) является потенциалом деформированного трехмерного гармонического осциллятора (ср. с (4.4)), частоты колебаний которого в направлении оси симметрии (3) и в направлении перпендикулярном к ней () не совпадают между собой. К нему добавляется обычный спин-орбитальный член и член, который учитывает реальную радиальную зависимость оболочечного потенциала, опуская вниз одночастичные уровни энергии с большим орбитальным моментом l (D < 0).

Частота одночастичных колебаний в первом приближении обратно пропорциональна размеру ядра в том направлении, в котором происходят колебания (см. упражнение 6.1). Пусть деформированное ядро имеет полуось a = R0(1 + 2е/3) вдоль оси симметрии эллипсоида и полуось b = R0(1 — /3) в направлении перпендикулярном ей, где епараметр деформации (см. упражнение 3.5). Тогда, пренебрегая членами порядка е2, будем иметь.

щ3 1/a = 1/[R0(1 + 2е/3)] R0−1(1 — 2е/3) и 1/b = 1/[R0(1 — е/3)] R0−1(1 + е/3).

Следовательно, мы можем определить частоты 3 и с помощью соотношений.

где щ — частота колебаний сферического гармонического осциллятора. При малых значениях выполняется соотношение 32 = 3, что соответствует сохранению объема ядра. Параметр был определен ранее (см. (4.5)). Параметры C и D подбираются так, чтобы при = 0 наилучшим образом воспроизводилась последовательность уровней сферического оболочечного потенциала (см. рис. (4.2)). Это дает следующие значения:

Рисунки 4 и 5 показывают как меняется энергетический спектр одночастичных состояний в потенциале Нильссона в зависимости от величины параметра деформации. При = 0 картина уровней такая же как в сферическом оболочечном потенциале. Возникновение аксиально-симметричной деформации снимает, с точностью до знака, вырождение по квантовому числу m K. В результате каждая nlj орбита расщепляется на (2j + 1)/2 двукратно вырожденных энергетических уровня в соответствии со значениями K = j, j — 1,…½ > 0. На каждом таком уровне могут находиться не более двух нуклонов одного сорта, отличающихся знаком (± K) проекции углового момента на ось симметрии 3.

Из этого вытекает, что спин J этого состояния также должен равняться нулю, так как оно служит основой для вращательной полосы с K = 0 и J = 0, 2, 4, 6,…

Спин и четность основного состояния ядра с нечетным A будут определяться значениями квантовых чисел одночастичного уровня, на котором находится последний непарный нуклон. На основном состоянии нечетного ядра базируется вращательная полоса с фиксированным K0 и J = K, K+1, K+2…

Невращательные возбужденные состояния деформированных ядер образуются при переходе нуклонов с заполненных на незаполненные орбиты, расположенные выше уровня Ферми (последнего уровня, заполненного в основном состоянии).

Приведем пример использования обобщенной модели для описания спина и четности основных состояний легких деформированных ядер. Рассмотрим нечетные ядра, приведенные в первом столбце таблицы 6.1. Согласно одночастичной оболочечной модели со сферическим потенциалом все они должны иметь в основном состоянии спин-четность Jр = (5/2)+, так как заполняется орбита 1d5/2 (см. схему уровней на рис. 4.2). Однако, это противоречит экспериментальным данным, как видно из сравнения столбцов 4 и 5 таблицы 1.

Таблица 1.

Наблюдаемое несоответствие теории и эксперимента объясняется тем, что при заполнении оболочки 8 < N, Z < 20 возникает вытянутая сфероидальная деформация ядерной поверхности се д 0.1 (см. рис. 5.4). В результате спин J основного состояния ядра с нечетным A определяется значением квантового числа K орбиты деформированного потенциала, на которую попадает непарный нуклон при данной деформации. Ядро 19 °F имеет четное число нейтронов и нечетное число протонов (см. столбцы 2 и 3 таблицы). Нечетный непарный протон размещается на орбите [2 2 0 ½] c Kр = (½)+ (см. рис. 6.4), поэтому основное состояние этого ядра согласно обобщенной модели имеет Jр = (½)+ (см. последний столбец таблицы). В ядрах 21Ne, 21Na, 23Na и 23Mg непарная частица (нейтрон или протон) попадает на орбиту [2 1 1 3/2], поэтому эти ядра имеют в основном состоянии Jр = (3/2)+. Наконец, ядра 25Mg и 25Al имеют по пять частиц нечетной нуклонной компоненты в оболочке 8 < N, Z < 20. Четыре из них заполняют орбиты [2 2 0 ½] и [2 1 1 3/2], а пятая, непарная располагается на орбите [2 0 2 5/2], вследствие чего спин-четность основных состояний ядер 25Mg и 25Al равняется (5/2)+.

Мы рассмотрели простейший вариант обобщенной модели, который отличается от одночостичной оболочечной модели главным образом введением статической деформации среднего ядерного поля, приводящей к возникновению вращательных степеней свободы ядра. В более совершенных вариантах обобщенной модели учитываются также коллективные степени свободы, связанные с вибрациями ядерной поверхности около равновесной деформированной формы. Характерным примером таких вибраций может служить уровень энергии 821.19 КэВ ядра168Er (см. рис. 6.3), на котором основывается вращательная полоса Kр = 2+. Подобные состояния обнаружены почти у всех четно-четных деформированных ядер. Все они интенсивно распадаются в результате квадрупольных электромагнитных переходов на уровни основной вращательной полосы Kр = 0+ и интерпретируются как коллективные возбуждения ядра, обусловленные поперечными квадрупольными колебаниями ядерной поверхности относительно аксиально-симметричной равновесной формы. Более совершенные варианты обобщенной модели рассматривают также взаимодействие между разными вращательными полосами, вызываемое силами Кориолиса, о важности учета которого для нечетных ядер говорилось выше. Наконец, как и оболочечная модель, обобщенная модель может быть усовершенствована путем учета смешивания различных нуклонных конфигураций остаточными силами.