Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби

Задача об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби состоит в следующем. Пусть б — алгебраический элемент степени n>1 над полем P; f и h — полиномы из кольца полиномов P[x] и h (б)?0. Требуется представить элемент в виде линейной комбинации степеней элемента б, то есть в виде ц (б), где цє P[x].

Эта задача решается следующим образом. Пусть g — минимальный полином для б над P. Так как, по теореме 11, полином неприводим над P и h (б)?0, то g не делит h и, значит, полиномы h и g — взаимно простые. Поэтому существуют в P[x] такие полиномы u и v, что uh+vg=1 (1).

Поскольку g (б)=0, из (1) следует, что.

.

Следовательно,, причем f, uє P[x] и f (б)u (б)є P[б]. Итак, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби .

Пример 3. Освободиться от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби .

Решение. I способ. Поиски минимального многочлена для знаменателя приводят к громоздким выкладкам. Будем искать множитель, рационализующий знаменатель, с помощью метода неприводимых коэффициентов. Так как и базис над Q состоит из чисел, то этот множитель будем искать в виде, где a, b, c, d єQ. Из условия, где f — некоторое (отличное от нуля) рациональное число, получаем систему.

Найдем какое — нибудь рациональное решение первых трех уравнений системы и, подставив в четвертое, определим f. При d=1 будем иметь c=-1, b=1, a=-2 и f=1. Поэтому .

II способ. В данном примере освободиться от иррациональности можно и проще, «по — школьному»:

.