Мощность множества. 
Отношения и отображения в теории множеств

Альберт Эйнштейн как-то говорил: «Не все, что можно сосчитать, сосчитано, и не все, что сосчитано, можно сосчитать». Хотя это высказывание не очень воодушевляет, попытаемся заняться подсчетами.

Говорят, что между множествами A и B установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества A соответствует один и только один элемент множества B и каждому элементу множества B соответствует некоторый элемент множества A. В этом случае говорят также, что множества A и B изоморфны и используют обозначение AB.

Определение 2.2. Два множества A и B называются эквивалентными, или равномощными, если между этими множествами может быть установлено взаимно однозначное соответствие. В этом случае пишут: AB, или A=B, и говорят, что множества A и B имеют равные мощности.

Пример . 1) Множество десятичных цифр равномощно множеству пальцев на руках человека.

2) Множество четных натуральных чисел (2N) равномощно множеству всех натуральных чисел (N).

Определение 2.3. Множество A называется конечным, если оно эквивалентно J_n при некотором n, где J_n=1, 2, …, n — множество n первых натуральных чисел.

Определение 2.4. Мощностью конечного множества A, которое содержит k элементов, называется число его элементов. Она обозначается A=k. Пустое множество считается конечным с числом элементов равным нулю, т. е. =0.

Таким образом, если множество A конечно, т. е. A=k, то элементы A всегда можно перенумеровать, то есть поставить в соответствие элементам номера из отрезка натурального ряда 1. k с помощью некоторой процедуры. Наличие такое процедуры подразумевается, когда употребляется запись A=a₁, a₂, …, a_k.

Пример. В компьютере все множества реальных объектов конечны: множество адресуемых ячеек памяти, множество исполнимых программ, множество тактов работы процессора.

Множества, которые не являются конечными, называются бесконечными.

Множество A называется несчетным, если его мощность больше мощности множества N. В таком случае множество A называется континуальным или континуумом. Мощность континуума обозначается .

Теорема 2.1. Множество всех действительных чисел имеет мощность континуума, т. е. R=C.