Использование фиктивных переменных в моделях с временными рядами

В регрессионных моделях с временными рядами используется три основных вида фиктивных переменных:

1) Переменные-индикаторы принадлежности наблюдения к определенному периоду — для моделирования скачкообразных структурных сдвигов. Границы периода (моменты «скачков») должны быть установлены из априорных соображений. Например, 1, если наблюдение принадлежит периоду 1941;45 гг. и 0 в противном случае. Это пример использования для моделирования временного структурного сдвига. Постоянный структурный сдвиг моделируется переменной равной 0 до определенного момента времени и 1 для всех наблюдений после этого момента времени.

Сезонные переменные — для моделирования сезонности. Сезонные переменные принимают разные значения в зависимости от того, какому месяцу или кварталу года или какому дню недели соответствует наблюдение.

Линейный временной тренд — для моделирования постепенных плавных структурных сдвигов. Эта фиктивная переменная показывает, какой промежуток времени прошел от некоторого «нулевого» момента времени до того момента, к которому относится данное наблюдение (координаты данного наблюдения на временной шкале). Если промежутки времени между последовательными наблюдениями одинаковы, то временной тренд можно составить из номеров наблюдений.

Фиктивные переменные помогают отразить тот факт, что коэффициенты линейной регрессии могут меняться во времени. В простейшем случае изменяется константа, а тем самым и мат. ожидание зависимой переменной.

Пусть исходная модель имеет вид Yt = а + pXt + єґ и предполагается, что, а линейно зависит от фиктивной переменной Ft: а = а0 + а1 Ft. Тогда уравнение изменится следующим образом: Yt = а0 + а1 Ft + в X + st, оставаясь линейным по параметрам.

Коэффициенты при значащих переменных тоже могут быть подвержены изменениям. Проинтерпретировать это можно так, что сила их влияния на независимую переменную меняется со временем.

Например, в рассмотренном уравнении может быть pt = в + в 1 Ft. Тогда Yt = а + во Xt + р1 FtXt + є. Эта модель также остается линейной по параметрам. Коэффициент р1 показывает, как исходный коэффициент в зависит от времени. С помощью соответствующей t-статистики можно проверить гипотезу, что р1 = 0 (в не меняется со временем).

Можно предложить следующий тест на стабильность коэффициентов модели во времени.

Для его проведения нужно добавить в уравнения произведения всех исходных регрессоров и фиктивной переменной. Например, в модель Yt = а + р1 Xt1 + РXt2 + є следует добавить регрессоры Ft, Xt1Ft и Xt2Ft. Если коэффициенты при добавочных переменных значимы в совокупности (применяем F-статистику), то нельзя отвергнуть гипотезу о том, что коэффициенты изменяются со временем.

Тест Чоу представляет собой частный случай описанного теста. Для временных рядов тест Чоу — это тест на то, что в определенный момент времени произошло скачкообразное изменение коэффициентов регрессии.

Временной тренд отличается от бинарных фиктивных переменных тем, 2 3 что имеет смысл использовать его степени: t, t и т. д.

Они помогают моделировать гладкий, но нелинейный тренд. (Бинарную переменную нет смысла возводить в степень, потому что в результате получится та же самая переменная.).

Можно также комбинировать три указанных вида фиктивных перемен-ных, создавая переменные «взаимодействия» соответствующих эффектов. Пусть Y — квартальные данные по некоторому показателю.

Его поведение можно смоделировать, представляя мат. ожидание как комбинацию линейного тренда и сезонности.

Y = «о + «і t + ві Qti + рг Qt2 + вз Qt3 + Yi Qit + Yi Qn t + Y Qn t + є,.

где t — тренд, Q i — квартальные сезонные переменные 1.

Qtj = j если j-й квартал 0.

Иначе Qt4 не нужно вводить в эту регрессию, так как есть константа, а Qt41 не нужно вводить в регрессию, так как есть временной тренд t.

Если все Yj ф 0, то это означает, что структура сезонности линейно изменяется со временем.

Комбинация рассмотренных фиктивных переменных позволяет моделировать еще один эффект — изменение наклона тренда с определенного момента. Помимо тренда в регрессию следует тогда ввести следующую переменную: в начале выборки до некоторого момента времени она равна 0, а вторая ее часть представляет собой временной тренд (1, 2, 3 и т. д. в случае одинаковых интервалов между наблюдениями) [3, с.46].

Регрессионные модели с фиктивными переменными являются альтернативой ARIMA-моделям и регрессионным моделям с AR — или MA-процессом в ошибке. В первом случае изменение мат. ожидания во времени можно назвать детерминированным трендом, во втором — стохастическим (строго говоря термин «стохастический тренд» употребляют только по отношению к нестационарным процессам). Решить, какой вид модели применять, сложно. Дело в том, что трудно отличить (в случае малых выборок), когда случайная величина имеет линейный детерминированный тренд со стационарными отклонениями от него, а когда она формируется нестационарным авторегрессионным процессом. То же самое верно для выбора способа моделирования сезонности.

Использование фиктивных переменных имеет следующие преимущества:

Интервалы между наблюдениями не обязательно должны быть одинаковыми. В выборке могут быть пропущенные наблюдения.

Коэффициенты при фиктивных переменных легко интерпретировать, они наглядно представляют структуру динамического процесса.

Для оценивания модели не приходится выходить за рамки классического метода наименьших квадратов.