Определение векторного произведения

Определение: Векторным произведением неколлинеарных векторов, взятых в данном порядке, называется ВЕКТОР, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

• 1) Исходные векторы, обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны.
• 2) Векторы взяты в строго определённом порядке: — «а» умножается на «бэ», а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР, который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .
• 3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах. На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание: чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними. Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе. А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

• 4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам, то есть. Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .
• 5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию.

Направление векторного произведения имеет немного практического смысла для математических задач, но очень важно в физике.