Степенная функция. 
Понятие римановой поверхности

Рассмотрим степенную функцию.

Рис. 23.

где п — натуральное число. Производная w' = nzⁿ~¹ существует и отлична от нуля во всех точках z ф 0, z ф оо. Поэтому отображение, осуществляемое функцией (10.1), является конформным во всех точках, кроме z = 0 ч z = оо. Если записать переменные z и w в показательной форме, z = re^{l, w — ре1в, то (10.1) приводит к равенствам}

(мы уже рассматривали отображение (10.1) для случая п = 2 в примере 5.1). Отсюда видно, что окружности z = г переходят в окружности |-ш| = г", угол 0 < ip < а, где а < 2it/n, с вершиной в начале координат, лежащий в плоскости переменного z, отображается на угол 0 < в < па плоскости ш. Следовательно, конформность отображения нарушается в точке z = 0: углы в этой точке увеличиваются при отображении в п раз. Нетрудно показать, что отображение (10.1) не является конформным и в точке z = оо (попробуйте сделать это самостоятельно).

Пусть точки z и z-2 таковы, что Z2 = п ^ 2. Легко ви деть, что Z ф 22, и Zo = г"е^<2* = г". Поэтому отображение (10.1) не является однолистным во всей комплексной плоскости С, но является таковым внутри любого угла величиной, а < 2тг/п с вершиной в начале координат.

Чтобы ввести функцию, обратную степенной, нам нужны следующие определения.

Многозначной функцией комплексного переменного называется правило (закон), по которому комплексному числу z из множества D соответствует несколько (возможно, бесконечно много) комплексных чисел w.

Все функции, рассмотренные ранее (кроме функции Argz), были однозначными. Функция Argz является многозначной:

где argz — главное значение аргумента и к — любое целое число. В дальнейшем под термином функция, используемым без каких-либо пояснений, подразумевается однозначная функция; многозначность изучаемых функций всегда будет оговариваться дополнительно.

Пусть функция ш = f (z) отображает область D на область Е. Обратной к функции w = f (z) называется функция (вообще говоря, многозначная) z = g (w), определенная на области Е, которая каждому комплексному числу w € Е ставит в соответствие все комплексные числа z € D, такие что f (z) = w.

Другими словами, функция, обратная к w = f (z), — это правило, по которому каждой точке w € Е соответствуют все ее прообразы z € D.

Если функция и) = /(г) однолистна в D, то обратная функция однозначна (и также однолистна) в Е если w = f (z) не однолистна, то обратная функция будет многозначной. Например, обратной к функции w = zⁿ является многозначная функция z — y/w: каждому значению ш, отличному от 0 и оо, соответствует п различных корней п-й степени, определяемых формулой (2.12). Числа 0 и ос имеют по одному корню: >/0 = 0, >/оо = оо.

Теорема 10.1. Пусть функция w = f (z) однолистна и аполитична в области D, отображает D на область Е и f'(z) ф 0. Тогда обратная функция z = g (w) также аполитична в области Е и

Доказательство. Зафиксируем произвольную точку z € D и возьмем приращение Az ф 0. Тогда, в силу однолистности функции w = /(г), соответствующее приращение Aw = f (z + Az) — f (z) также не равно нулю. Поэтому.

Так как функция w = f (z) ана/штична, то она непрерывна в точке z. Следовательно, Aw —> 0 при Az -> 0, а в силу взаимной однозначности верно и обратное: Azу 0 при Aw -> 0. Отсюда.

что и требовалось доказать.

Аргументом функции z = g (tv), обратной w = /(-г), является переменная w. Поскольку аргумент функции часто обозначают через 2, то для единообразия иереобозначают переменные z и w и пишут w = g (z). Например, обратная функция к w = zⁿ запишется как w = yfz.

Рассмотрим подробнее функцию w = y/z. Как было отмечено выше, она является многозначной. Тем не менее можно определить эту функцию на множестве более сложного устройства, чем комплексная плоскость, на котором функция w = y/z станет взаимно-однозначной и непрерывной. Опишем соответствующее множество. Возьмем п экземпляров («листов») Do, D,…, D_n-i комплексной плоскости, разрезанной вдоль положительной полуоси, и расположим их друг над другом (на рис. 24, а показан случай п = 4). Затем тот край разре;

Рис. 24, а.

за области к которому мы подходим снизу от луча ОХ (т.е. но полуплоскости у < 0), склеим с верхним краем разреза области нижний край разреза области D склеим с верхним краем разреза области D-2 и т. д., пока не склеим нижний край разреза D_n-ч с верхним краем разреза D_n-. Теперь склеим оставшиеся свободными нижний край разреза области D_n- (на рис. 24, а это D₃) с верхним краем разреза области Do- В трехмерном пространстве такую склейку невозможно осуществить без пересечения с уже сделанными склейками промежуточных листов. Но мы условимся считать эту склейку непересекающсйся с предыдущими (т.е. точки этой склейки считаются отличными от точек остальных склеек). Полученная поверхность показана на рис. 24, 6. Она называется римановой поверхностью функции w = fz. Над каждой точкой комплексной плоскости, отличной от 0 и ос, расположено ровно п точек римановой поверхности. Точки х > 0 действительной полуоси не составляют исключения, так как все склейки, расположенные над ней, считаются непересекающимися. Лишь две точки не обладают этим свойством: z = 0 и z = ос. Все листы римановой поверхности считаются склеенными в точках, расположенных над точками z = 0 и z = оо.

Определим теперь функцию w = s/z на построенной римановой поверхности. Напомним, что если z — re^{, v?}, то все корни n-й степени из z определяются формулой (2.12):

Рис. 24, б.

Угол у> в этой формуле можно выбирать из любого промежутка длины 27 г; нам удобно предполагать, что 0 ^ ip < 2тг.

Точкам z = re^{t, лежащим на листе Do и склейке Do с D_n_1, ставим в соответствие значение корня с к = 0; точкам, лежащим на листе D1 и склейке D с Do, — значение корня с к = 1. Вообще, точкам, лежащим на D* при 1 ^ к ^ п — 1, и склейке D* с D*._i, соответствует значение корня с данным к. Построенное соответствие будет однозначной функцией на римановой поверхности.}

^{Нетрудно показать, что эта функция взаимно-однозначно отображает риманову поверхность на всю комплексную плоскость. Действительно,}

^{~ - * 2ТГ* 27 г (&+1) " ;}

^{лист и к будет отображаться в угол- < р < -, а склейки отобразятся в лучи, соединяющие эти углы; тем самым вся комплексная плоскость будет покрыта образами точек римановой поверхности.}

^{Покажем, что это отображение является и непрерывным. Если точка z лежит на листе D* с разрезом, то непрерывность в этой точке прямо следует из формулы (10.3) с фиксированным к. Для демонстрации непрерывности в точках склеек рассмотрим контур на римановой поверхности, состоящий из точек, расположенных над окружностью z = 1 комплексной плоскости. Начнем обходить этот контур с точки г, расположенной на верхнем крае разреза листа По. Так как г = 1, кр = 0, к = 0, то w = y/z = 1. При обходе первого витка контура на листе Do будет f 2iг}

^{г- 2т.. 2т: _ _м}

^{и Vz —> cos — + i sin —. Перейдя по склейке на лист П. мы получим, по п п}

^{— f + 2т. f + 2т}

^{определению, л/г = cos-+ г sin- (так как к = 1). В частности,}

^{/г п}

^{при <�р = 0 будет то же самое значение корни, к которому мы приближались, подходя к нижнему берегу разреза, но листу Do. Значит, в точках склейки По с П функция sfz будет непрерывной. Аналогично показывается непрерывность корня и при переходе с Dk-i на D* при 1 ^ к ^ п — 1. Наконец, обходя контур по листу D"_ 1 и приближаясь к нижнему краю разреза, получим к = 11 — 1, f -э 2т, и}

^{т.е. то самое значение, с которого мы начинали на верхнем крае разреза листа П₀. Таким образом, функция >/г будет непрерывной во всех точках римановой поверхности. Как функция, обратная к аналитической, она является также однозначной аналитической функцией на этой поверхности (кроме точек z = 0 и z = оо).}

^{Возьмем любую окружность z = г на комплексной плоскости, охватывающую точку z = 0. Эта окружность будет охватывать также п точку z = оо. Обходя контур на римановой поверхности, состоящий из точек, расположенных над этой окружностью, мы будем переходить с одного листа римановой поверхности на другой. Поэтому точки z = 0 и z = оо называются точками ветвления. Ни одна другая точка описанным свойством нс обладает: если взять окружность с центром в точке z ф 0, z ф оо, не содержащую внутри себя точку 0, то соответствующие' точки на римановой поверхности образуют п окружностей, не связанных друг с другом. Обходя каждую из них, мы не выйдем за пределы одного и того же листа.}

^{Однозначная аналитическая в области D функция f (z) называется регулярной ветвью многозначной функции F (z), определенной в этой же области, если значение f (z) в каждой точке г области D совпадает с одним из значений F (z) в этой точке.}

^{Многозначная функция F (z) является однозначной и аналитической на своей римановой поверхности (за исключением точек ветвления). Поэтому возможность выделить в области D регулярную ветвь означает возможность расположить эту область на римановой поверхности, не разрезая D и не задевая точек ветвления. Облап ь D должна при этом целиком укладываться на одном листе или спускаться по склейке с одного листа на другой (как ковер по лестнице). Например, кольцо 1 < z < 2 нельзя без разрывов расположить на римановой поверхности функции F (z) = sfz, п ^ 2, поскольку точки кольца.}

^{располагаемые над положительной полуосью, должны одновременно попасть на разные листы, что невозможно. Но если разрезать кольцо по любому радиусу, то такое расположение становится возможным. При этом расположить D на римановой поверхности можно п способами (и, следовательно, выделить в D п различных ветвей функции y/z). Для выделения конкретной ветви достаточно указать значение функции в какой-либо точке области D. Тем самым указывается лист римановой поверхности, на который попадает эта точка, а значит, фиксируется расположение и всей области D.}

^{Пример 10.2. Выдачить регулярную ветвь f (z) функции w =}

^{{, Зя*}

^{2 = ettp : — — <}

< 9 < }• Найти /(-1).

Р е ш е н и е. Область D является комплексной плоскостью с разрезом, но мнимой полуоси у ^ 0. Значит, выделение регулярной ветви в D возможно. По формуле (10.3).

Чтобы выделить ветвь /(г), нужно найти подходящее значение А*. Так как /(1) = г, то подставляя ip = 0, г = 1, получим.

откуда следует, что к = 1. Итак, нужная ветвь.

В частности,.

Мы проводили построение римановой поверхности функции w = = fz, разрезая комплексную плоскость С вдоль положительной полуоси. Отметим, что выбор линии разреза не является принципиальным: аналогичную конструкцию можно было проделать, разрезая С, например, вдоль любого луча, исходящего из начала координат.