Аналитическое выравнивание сезонных колебаний с помощью ряда Фурье

При выявлении периодических, в частности сезонных, колебаний может использоваться метод аналитического выравнивания, рассмотренный в п. 12.3.3. В этом случае наиболее подходящей формулой для моделирования временных изменений является ряд Фурье. Функция зависимости уровней временного ряда от времени может быть представлена следующим образом:

где у_с — выравненные значения; а₀, …, а_т — параметры уравнения; к — число гармоник;? — показатель времени.

При построении ряда Фурье получают гармоники — синусоиды, представляющие собой отражение гармонических колебаний. Число гармоник может быть различным. Как правило, строится несколько гармоник, из которых выбирается та, которая наиболее точно отражает исследуемые сезонные колебания (исходный ряд данных). Параметры уравнения определяются методом наименьших квадратов:

Процедура выравнивания, но ряду Фурье заключается в построении нескольких гармоник, накладывающихся одна на другую, до получения удовлетворяющей поставленной задаче.

При к = 1 ряд Фурье будет иметь следующий вид:

при к — 2: при к = 3: и т. д.

Значения времени? задают следующим образом. Если весь цикл изменения составляет 360°, то прирост времени от периода к периоду должен составлять 360°/" или 2тт/п (где п — число уровней ряда). То есть при п = 12 значения? будут принимать следующие значения:

Рассмотрим выравнивание сезонной волны по ряду Фурье на примере из предыдущего пункта о продаже велосипедов (табл. 12.13).

Таблица 12.13

Расчет параметров первой гармоники.

Используя результаты из расчетной таблицы, вычислим параметры уравнения:

Отсюда получаем уравнение первой гармоники:

Полученные теоретические значения (последняя графа табл. 12.13) заметно отличаются от исходного ряда. Это наблюдение подтверждается графическим изображением обоих рядов (рис. 12.13). Построим вторую гармонику (табл. 12.14).

Таблица 12.14

Расчет параметров второй гармоники.

Уравнение второй гармоники принимает следующий вид:

Рис. 12.13. Выравнивание по ряду Фурье.

Для определения гармоники, которая точнее отражает исходный ряд, рассчитывают суммы квадратов отклонений выравненных значений от фактических. В нашем примере:

Следовательно, вторая гармоника более точно отражает исходный ряд. Этот вывод подтверждается графическим изображением в одной системе координат исходного ряда и первой и второй гармоник (см. рис. 12.13).