Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейным неоднородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида.

y⁽ⁿ⁾ + a_ry^(n-1) +. an-1 * y' + any = f (x), (2.35).

где a₁, a₂…, a_n — некоторые действительные числа.

Общее решение неоднородного уравнения (2.35) складывается из любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения вида (2.29):

y⁽x⁾ = y0⁽x⁾ + ^{U (}x⁾. ⁽².³⁸⁾

Если правая часть уравнения (2. 35) имеет вид.

f (x) = Ј^ax * [P_n (x) * cos p x + Q_m(x) * sinpx], (2.39).

то для подбора частного решения этого уравнения применяют метод неопределенных коэффициентов.

Согласно этому методу частное решение уравнения (2.38) следует искать в виде.

U (x) = x^r * Ј^ax * [PЈ (x) * cos px + QЈ(x) * sin px]. (2.40).

Здесь r — показатель кратности корня a + ip в характеристическом уравнении к¹ + a₁ * к¹⁻¹ +… a_n-1 * к + a_n = 0.

Если же характеристическое уравнение такого корня не имеет, то частное решение ищется в виде.

U (x) = Ј^ax * [P Ј (x) * cos px + Q Ј (x) * sin px], (2.41).

Многочлены P Ј (x) и Q Ј (x) с неопределенными коэффициентами имеют порядок, который равен наибольшему из порядков многочленов Pn (x) и Qm (x) исходной правой части уравнения (2.40) и имеют вид:

P Ј (x) = A0 * x^Ј + A1 * x^{Ј -1} +… A Ј. (2.42).

QЈ(x) = B0 * x^Ј + B1 * x^Ј-1 +… BЈ.

Для определения неизвестных коэффициентов A0, A1,. AЈ и В₀, В₁,…, В Ј частное решение U = U (x) вида (2.40) и (2.41) подставляют в исходное уравнение (2.35). В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений, в которых сравниваются A₀, A₁,… A Ј коэффициенты, а также В₀, В₁,… В Ј с коэффициентами при соответствующих степенях функции в правой части уравнения (2.35).

Если же правая часть уравнения (2.35) равна сумме нескольких различных функций, то для отыскания частного решения такого уравнения надо найти частные решения относительно каждой функции, а затем, согласно теореме наложения решений, сложить эти частные решения. В результате получаем частное решение исходного дифференциального уравнения (2.35) со сложной правой частью.

ПРИМЕР 1.

Найти общее решение уравнения у'' + у' - 2у = t^3x.

Решение.

Характеристическое уравнение к + к — 2 = (к — 1) (к + 2) = 0 имеет корни к₁ = 1 и к₂ = -2.

Тогда общее решение однородного уравнения у₀ = C₁1 ^x + C₂1^— x. Частное решение надо искать в виде:

U = A * t ^x.

Тогда U' = 3A * t^3x, U" = 9A * t^3x.

Тогда U" + U' - 2U = A * t^3x (9 + 3 — 2) = t^3x.

В результате общее решение неоднородного уравнения:

у = у0 + U = C11^x + C2t^-2x + — * t^3x.

ПРИМЕР 2.

Найти общее решение:

у' + 25у = cos 5x.

Решение.

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

у" + 25у = 0.

Характеристическое уравнение:

к² + 25 = 0.

Корни:

к₁ = 5i, к₂ = -5i.

Общее решение однородного уравнения:

у₀ = C₁ * cos 5x + C₂ * sin 5x.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде.

U = x (A * cos 5x + B sin 5x).

Вычислим:

U' = (A * cos 5x + B sin 5x) + 5x (-A * sin 5x + B cos 5x);

U" = 5(-A * sin 5x + B cos 5x) + 5x (-A sin 5x + B cos 5x) + 25 x (-A cos 5x — B sin 5x).

Тогда U'' + 25U = -10A sin 5x + 10B cos 5x = cos 5x.

Тогда A = 0, B = —.

В итоге общее решение неоднородного уравнения:

у = у₀ + U = С₁ * cos 5x + С₂ sin 5x + — * x * sin 5x.

ПРИМЕР 3.

Решить дифференциальное уравнение у'' + 3у' + 2у = 3x.

Решение.

Решим однородное уравнение у'' + 3у' + 2у = 0.

Характеристическое уравнение: к + 3к + 2 = 0.

Имеет корни: к₁ = -1, к₂ = -2.

Поэтому общее решение однородного уравнения: у₀= С₁ * t^-x + С21^-2x

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде U = Ax + B.

При подстановке в исходное уравнение получаем:

U' = A; U" = 0; U" + 3U' + 2U = 3A + 2 (Ax+B) = 3x.

2Ax = 3x.

Тогда.

3A + 2B = 0'.

ЗАДАНИЕ.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

1). у'' - у = 4 * t^x.

Ответ: у = C1 * t^x + C2 t^-x + 2x * t^x.

2). у'' + 4у' +5у = 8 cos x.

Ответ: у = t^— x * (C₁ * cos x + C₂ * sin x) + 2(cos x + sin x).

3). у" - 6у' + 9у = 25 * t^x * sin x.

Ответ: у = (C₁ + C₂x) * t^x + t^x * (4 cos x + 3 sin x).

4). у'' + 8у' = 8 x.

Ответ: у = Ci + C2 * t `^8x + — - ^x.

5). у'' + 3у' - 10у = x * t `^2x.

Ответ: x = C1 * t^2x + C2 * t^-5x + — (1−12x) t `^2x.