Резонанс в магнитно-связанных колебательных контурах

В параграфах 3.23 — 3.27 были описаны резонансные явления в параллельном, последовательном и последовательнопараллельном резонансных контурах. Рассмотрим резонанс в магнитно-связанных контурах, например в схеме (рис. 3.42, а), часто применяемой в радиотехнике. Для упрощения выкладок положим L_x = I₂ = L, С_г = С₂ = С; R ⁼R₂ ⁼ R' ^что Д^ает возможность относительно легко выявить основные закономерности резонанса в этой схеме.

Рис. 3.42.

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа: Ток.

Напряжение на конденсаторе второго контура.

Пусть й_С2 / Ё = к_и, тогда.

Обозначим

С помощью параметра в учитывается отклонение текущей частоты со от резонансной со₀. Рассмотрим работу схемы при относительно малых отклонениях со от со₀. Положим со = со₀ — Дсо. Тогда.

В свою очередь,.

При малых отклонениях со от со₀, вынеся в знаменателе выражения (3.73) за скобку co²L²=(OoI² и использовав указанные обозначения, получим.

Модуль.

При фиксированных к и d можно исследовать к_и на экстремум в функции в для двух случаев: к > d и /с < d.

При к > d имеются три экстремума: минимум при в = 0, т. е. при со = со₀, и два максимума при в₁₂ = ±Jk²-d², которым соответствуют частоты о)! ₂ = со₀^1-е₁₎₂.

Резонансная кривая при этом имеет два горба (кривая 1 на рис. 3.42, б построена при к = 3d). С увеличением к горбы кривой раздвигаются.

При к < d имеется только один экстремум: максимум при в = 0 (кривая 2 на рис. 3.42, б). По оси абсцисс на этом рисунке отложено в/d, по оси ординат k_v/k_Umax, где |к_цmax| = l/(2d) = ^L/C /(2R).

Ток первичного контура в функции от в/d при к > 0,49d имеет двугорбую форму.

«Развязывание» магнитно-связанных цепей

Иногда в литературе можно встретить расчетный метод, который называют развязыванием магнитно-связанных цепей (катушек). Метод состоит в том, что исходную схему с магнитно-связанными индуктивностями путем введения дополнительных индуктивностей и изменения величины имевшихся преобразуют так, что магнитная связь между всеми индуктивностями в преобразованной схеме будет отсутствовать.

Так как преобразования осуществляют на основе составленных по законам Кирхгофа уравнений для исходной схемы, то вновь полученная и исходная схемы в расчетном смысле полностью эквивалентны, а расчет схемы после развязывания упрощается за счет возможности применения метода узловых потенциалов.

Составим, например, схему, эквивалентную схеме на рис. 3.33. С этой целью в уравнении (3.65) заменим /₃ на -i₂ и в уравнении (3.66) — на /₂ + /₃. Замену одних токов другими производим так, чтобы в каждое из получающихся после замены уравнений входили только те токи, которые текут в ветвях рассматриваемого контура.

В результате получим:

Уравнениям (3.75) и (3.76) соответствует схема на рис. 3.42, в. Сопоставляя схемы на рис. 3.33 и рис. 3.42, в, замечаем, что L_x заменена на (Lj + М), L₃ — на (L₃ + М), а во вторую ветвь введена отрицательная индуктивность L₂ = -М (физически осуществить полученную расчетным путем отрицательную индуктивность в цепи только с линейными элементами невозможно). Таким образом, участок цепи, изображенный на рис. 3.42, г, в расчетном смысле может быть заменен участком, показанным на рис. 3.42, д. Если катушки будут включены встречно, то на рис. 3.42, д следует изменить знак перед М. Покажем, как можно осуществлять развязывание, не составляя полных уравнений по второму закону Кирхгофа. В основу положим неизменность потокосцепления каждого контура до и после развязывания. Пусть в схеме (см. рис. 3.33) после развязывания х — индуктивность первой ветви, у — второй, z — третьей. Условие неизменности потокосцепления левого контура:

откуда х = Ь₁+Миу = -М.

Условие неизменности потокосцепления правого контура.

откуда у = -М и z = М + L₃. Знак «минус» поставлен потому, что при обходе контура по часовой стрелке перемещаемся встречно току i₂.