Математическая модель процесса измерения

При проведении любого эксперимента учёный стремится устранить или уменьшить влияние процесса исследования на сам изучаемый объект. Но иногда сам процесс является причиной наблюдаемых явлений, как это и происходит в случае с диэлектрометрией, особенно если учитывать существенный СВЧ нагрев образца используемым прибором. Важно не только учесть данный эффект и его влияние на процесс измерения, а и использовать для получения дополнительных данных об исследуемой системе.

Основные положения

Хорошо известно, что теплоёмкость жидкостей слабо меняется при их смешении, что позволяет использовать линейное выражение для её расчёта:

(3.3.1).

где a — массовая доля соответствующего компонента, c — его теплоёмкость.

Зависимость диэлектрической проницаемости при смешении компонентов является существенно нелинейной функцией от их массовых долей, и, в общем случае, неизвестна.

Диэлектрическая проницаемость экспоненциально зависит от температуры, это подтверждается многочисленными экспериментальными данными [1], в том числе показанными в данной работе, поэтому зависимость от температуры можно представить как:

(3.3.2).

Температура под воздействием СВЧ изменяется слабо (в пределах 2−3 градусов), поэтому можно воспользоваться линейной связью между теплотой и температурой:

(3.3.3).

Это подтверждается графиком (3.1.3), где, невзирая на разную начальную температуру, коэффициент скорости (или скорость изменения) остаются постоянными, следовательно, скорость притока энергии линейно зависит от градиента температур.

Подставляя (3.3.3) в (3.3.2) получаем.

(3.3.4).

Для нахождения теплоты, передаваемой телом, составим уравнение для изменения теплоты:

(3.3.5).

где p — линейный коэффициент связи между поглощаемой теплотой и диэлектрической проницаемостью, г — показатель охлаждения. При P = 0 и интегрировании выражение (7) переходит в хорошо известный экспоненциальный закон для охлаждения тела. Подставляя (3.3.3) в (3.3.5) получаем.

(3.3.6).

Задача самосогласованная, поэтому в дифференциальном уравнении 2 неизвестных, чтобы избавиться от одного выразим Q (t) из (3.3.4) и подставим в (3.3.6).

(3.3.7).

Возводя (3.3.7) в квадрат, чтобы получить квадраты действительных и мнимых частей диэлектрической проницаемости, и вводя замену получим.

) (3.3.8).

Квадрат производной существенно меньше квадрата функции, поэтому первым слагаемым можно пренебречь, после выполнения преобразований выражение переходит в итоговую формулу.

(3.3.9).

— скорость охлаждения, зависит от геометрических размеров капилляра, материала который его окружает, и практически не зависит от природы вещества, или температуры окружающей среды (она учтена в градиенте). Можно определить в эксперименте на модельных системах, условно является постоянной прибора.

p — линейный коэффициент связи между диэлектрической проницаемостью и поглощённой теплотой, может быть получен теоретически или экспериментально, исходя из калибровочных зависимостей.

a — показатель экспоненты в (3.3.4), не может быть измерен напрямую в эксперименте, так как (3.3.4) отражает зависимость диэлектрической проницаемости от теплоты, которая, в общем случае, неизвестна.

Сравнивая (3.3.9) и определение модуля диэлектрической проницаемости получаем, что.

(3.3.10).

(3.3.11).

Подставляем в выражение (3.3.10) и разрешаем его относительно Потребуем от уравнения (3.3.10) равенство диэлектрической проницаемости в левой части и её обратного логарифма в правой (определяемого в эксперименте). Полученное выражение трансцендентно и в элементарных функциях решений не имеет, однако при помощи W-функции Ламберта, которая определяется как обратная ф-ция к, можно найти корень, он единственный:

(3.3.12).

Анализ модели и получение постоянной прибора.

Выражение (3.3.12) не зависит от времени, следовательно, является стационарным состоянием, которое известно. Исходя из этого (3.3.12) можно представить в виде:

(3.3.13).

решая относительно, получаем.

(3.3.14).

Исходя из графика (3.1.1) находится смещение частоты, Дf = 56 кГц, используя калибровку, посчитаем начальные и конечные диэлектрические проницаемости, = 76.5462, = 76.1837, итого для воды.

Посчитаем изменение температуры образца по линейной пропорции,.

0.2 0 C. Оно достаточно мало из-за высокой температуры при измерении, 300 С.

Подставляя полученное выражение в (3.3.11), получается.

=.

Для упрощения расчётов целесообразно аппроксимировать зависимость (3.1.1) и её производную полиномами:

(3.3.15).

(3.3.16).

Для времени 60 000 (мс) найдём =3.3261, .

— 0.3386, 1.36.

Безусловно, данное определение является достаточно грубым, однако хорошо согласуется с скоростью остывания образца и сходимостью уравнения (3.3.10).