Кривая Гаусса. 
Статистическая обработка результатов испытаний одномерных и двумерных случайных величин

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а и ??², где а — выборочное среднее значение и ??² — среднее квадратическое отклонение, если плотность распределения вероятностей имеет вид f (x)= График плотности f (x) нормального распределения называется кривой Гаусса. Для построения графика используем 5 точек:

1) точка максимума (а;)=(7,4465; 2,4904).

• 2) точка перегиба (а+??;)=(7,6067; 1,5105)
• 3) точка перегиба (а-??;)=(7,2863; 1,5105)

4) вспомогательная точка (а-2??;)=(7,1260; 0,9162).

5) вспомогательная точка (а+2??;)=(7,7670; 0,9162).

Интервальные оценки

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика ??^*служит оценкой неизвестного параметра ??. Будем считать ?? постоянным числом (?? может быть и случайной величиной). ??^* тем точнее определяет параметр ??, чем меньше абсолютная величина разности | ?? — ??^*|.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка ??^* удовлетворяет неравенству | ?? — ??^*|.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки ?? по ??^* называют вероятность ??, с которой осуществляется неравенство | ?? — ??^*|.

Пусть вероятность того, что | ?? — ??^*|.

Р[| ?? — ??^*|.

Заменив неравенство | ?? — ??^* | < ?? равносильным ему двойным неравенством -?? * *-??< ?? < ??^*+??, имеем.

Р[??^*-??< ?? < ??^*+??]=??.

Это соотношение следует понимать так: вероятность того что интервал (??^*-??,??^*+??) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр ??, равна ??.

Доверительным называют интервал (??^*-??; ??^*+??) который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью ??.

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности имеет нормальное распределение с неизвестным средним квадратическим отклонением ??. По выборке х₁, x₂,…, x_n требуется оценить математическое ожидание а.

Рассмотрим случайную величину Т=, где Z имеет нормальное распределение N (0,1); V имеет распределение ??² с «к» степенями свободы; Т имеет распределение Стьюдента «к» степенями свободы.

В качестве Z=, V=(k-1)(S²/??²), где S — исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.

Возьмем Т== имеет распределение Стьюдента с (к-1) степенями свободы. Пусть S (t, n) плотность распределения Стьюдента.

Р (||??)=2(t, n) dt=??

Заменив неравенство в круглых скобках равносильным ему двойным неравенством, получим:

P (- t_??S/<a< + t_??S/)=??

Пользуясь распределением Стьюдента, нашли доверительный интервал покрывающий неизвестный параметр а с надежностью ??: (- t_??S/ + t_??S/ [17].

и S находятся по выборке. По таблице приложения 3 по заданным n и ?? можно найти t_??.

В первой задаче надежность ?? =0,95; n=100, по таблице приложения № 3 — t_??=1,984, тогда находим доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном ??: 7,4240<a<7,4690. Вывод: в генеральной совокупности средние размеры валиков заключены в пределах от 7,4240 до 7,4690.