Понятие симметрического многочлена

При решении некоторых алгебраических уравнений высшего порядка и некоторых систем алгебраических уравнений используются специальные многочлены, называемые симметрическими, определение которых дадим на примере многочленов от двух переменных [3].

Определение 1. Многочлен P (x, y) от двух переменных называется симметрическим, если при замене x на y и y на x он не меняется.

Например, многочлен.

является симметрическим, поскольку при замене x на y и y на x имеем тождество.

.

В самом деле,.

Простейшие симметрические многочлены от x и y

s₁ = x + y, s₂ = xy

называются элементарными (или основными) симметрическими многочленами.

Обобщение определения симметрических многочленов от n переменных осуществляется естественным путем. Например, симметрическим многочленом от трех переменных называется многочлен Q (x, y, z) от трех переменных, который не меняется при перестановке любых двух переменных, а элементарные симметрические многочлены определяются формулами.

s₁ = x + y + z,

s₂ = xy + yz + xy,

s₃ = xyz.

Существует простой прием, позволяющий получать симметрические многочлены. Возьмем любой (вообще говоря, не симметрический) многочлен от и и подставим в него вместо и их выражения через x и y. Ясно, что при этом мы получим симметрический многочлен от x и y (ведь ни, ни не меняются при перестановке местами x и y, а потому не меняется и весь получившийся многочлен, выражающий через x+y и xy. Например, из многочлена получаем симметрический многочлен.

Итак, если взять любой многочлен от и и подставить в него вместо и их выражения.

,.

то получится симметрический многочлен от x и y.

Возникает вопрос, является ли этот прием построения симметрических многочленов общим, т. е. можно ли с его помощью получить любой симметрический многочлен?

Рассмотрение примеров делает это предположение вероятным. Например, степенные суммы без труда выражаются через и :

Какой бы симметрический многочлен мы ни взяли, после более или менее сложных выкладок его удается выразить через элементарные симметрические многочлены и. Таким образом, имеет место важная теорема:

Теорема 1 (о симметрических многочленах)

Всякий симметрический многочлен от n переменных можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов, и это представление единственно.

Доказательство сформулированной теоремы проведем в два приема.

1. Сначала мы докажем теорему не для любых симметрических многочленов, а лишь для степенных сумм. Иными словами, мы установим, что каждую степенную сумму.

можно представить в виде многочлена от и. С этой целью мы умножим обе части равенства.

(1).

на .

Получим:

.

Таким образом,.

.

Из этой формулы вытекает справедливость нашего утверждения. В самом деле, мы уже проверили, что степенные суммы и представляются в виде многочленов от и. Но если нам уже известно, что степенные суммы выражаются в виде многочленов от и, то, подставляя эти выражения в формулу (1), мы получим выражение степенной суммы через и. Иными словами, мы можем последовательно находить выражения степенных сумм через и: зная и, находим по формуле (1) затем и и т. д. Ясно, что рано или поздно мы получим выражение любой степенной суммы через и. Таким образом, наше утверждение доказано.

Формула (1), составляющая основу изложенного доказательства, позволяет не только утверждать, что как-то выражается через и, но также позволяет последовательно вычислять выражения степенных сумм через и. Построим таблицу выражений степенных сумм.

Таблица 1. Выражения степенных сумм через ,.

Теперь нетрудно завершить доказательство теоремы. Любой симметрический многочлен от и y содержит (после приведения подобных членов) слагаемые двух видов.

Во-первых, могут встретиться одночлены, в которые и y входят в одинаковых степенях, т. е. одночлены вида. Ясно, что.

.

т.е. одночлены этого вида непосредственно выражаются через .

Во-вторых, могут встретиться одночлены, имеющие разные степени относительно и y, т. е. одночлены, имеющие разные степени относительно и y, т. е. одночлены вида, где. Ясно, что вместе с одночленом симметрический многочлен содержит также и одночлен, получаемый из перестановкой букв и y. Иными словами, в симметрический многочлен входит двучлен вида Предполагая для определенности, мы сможем переписать этот двучлен следующим образом:

А так как по доказанному степенная сумма представляется в виде многочлена от и, то рассматриваемый двучлен выражается через и .

Итак, каждый симметрический многочлен представляется в виде суммы одночленов вида и двучленов вида, каждый из которых выражается через и. Следовательно, любой симметрический многочлен, представляется в виде многочлена от и .

Теорема полностью доказана.

Аналогично, симметрическая функция трёх переменных определяется как функция, которая не изменяет своего значения при произвольных перестановках своих аргументов, то есть.

Для симметрических многочленов трёх переменных справедлива точно такая же теорема, как и для многочленов двух переменных, а именно:

Теорема 2. (о симметрических многочленах).

Любой симметрический многочлен от трёх переменных представим в виде функции от трёх основных симметрических многочленов:

Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция трёх переменных и (u, v, w), что.