Требования, предъявляемые к системе аксиом

Основное требование, которое предъявляется к системе аксиом — непротиворечивость. Это требование означает, что, во-первых, система аксиом не должна содержать двух каких-либо взаимоисключающих друг друга предложений. Во-вторых, в следствиях из системы аксиом не должно содержаться двух теорем, противоречащих друг другу.

Для выполнения первого условия необходимо проверить систему аксиом на наличие взаимоисключающих друг друга предложений. Второе условие проверить невозможно, так как число теорем, выведенных из данной системы аксиом, неограниченно. Поэтому, для того чтобы убедиться в непротиворечивости системы аксиом, надо построить модель этой системы.

Теорема: система аксиом Вейля непротиворечива, если непротиворечива арифметика действительных чисел.

Для доказательства построим математическую модель. Введем основные объекты: аксиома доказательство вейль математическая модель.

1) векторы;

2) точка.

Введем основные отношения:

1) сложение двух векторов;

2) умножение вектора на скаляр;

3) скалярное произведение векторов;

4) бинарное отношение, принадлежность упорядоченной пары точек и вектора.

Убедимся в справедливости аксиом:

V₁.

V₂.

V₃.

V₄.

V₅.

V₆.

V₇.

V₈.

V₁-V₈-выполнены.

D₁.

D₂.

D₁-D₂-выполнены.

E₁.

E₂.

E₃.

E₄.

E₁-E₄-выполняются.

T₁.

T₂.

T₁-T₂-выполняются.