Обратные тригонометрические функции

Графики, полученные поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

Рис. 14

Функции:

y = Arcsin x,.

y = Arccos x.

(рис. 14) многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно: ?1 x +1 и ?< y +. Поскольку эти функции многозначные, не рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения:

y = arcsin x,.

y = arccos x;

их графики выделены на рис. 14 жирными линиями.

Функции:

y = arcsin x,.

y = arccos x.

обладают следующими характеристиками и свойствами:

• — у обеих функций одна и та же область определения: ?1 x +1; их области значений: ?/2 y /2 для y = arcsin x и 0 y для y = arccos x;
• — функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные (y = arcsin x — возрастающая функция; y = arccos x — убывающая);
• — каждая функция имеет по одному нулю (x = 0 у функции y = arcsin x и x = 1 у функции y = arccos x).

Рис. 15

Функции:

y = Arctan x,.

y = Arccot x.

(рис. 15) — многозначные, неограниченные; их область определения:? x +. Их главные значения:

y = arctan x,.

y = arccot x.

рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены жирными ветвями.

Функции y = arctan x и y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства:

• — у обеих функций одна и та же область определения:? x +; их области значений: ?/2 < y < /2 для y = arctan x и 0 < y < для y = arccos x;
• — функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные (y = arctan x — возрастающая функция; y = arccot x — убывающая);
• — только функция y = arctan x имеет единственный ноль (x = 0); функция y = arccot x нулей не имеет.