Поверхностные интегралы и их вычисление

Рассмотрим некоторое скалярное поле. Пусть в пространстве задана поверхность S, которая описывается уравнением. Разобьем поверхность на маленькие элементы площадью, внутри каждого элемента выберем точку .

Составим интегральную сумму.

.

Определение 1. Поверхностным интегралом первого рода называется предел интегральной суммы.

.

Поверхностные интегралы первого рода часто называют интегралами по поверхности. Если поверхность задана уравнением, то элемент поверхности определяется формулой и вычисление поверхностного интеграла первого рода сводится к вычислению двойного интеграла.

.

Если функция задает поверхностную плотность электрического заряда на поверхности S, то поверхностный интеграл первого рода позволяет определить суммарный заряд поверхности S.

Пример 1. Вычислить интеграл по поверхности.

.

где поверхность S — часть плоскости, лежащая в первом октанте.

Решение. Сделаем рисунок.

Выполним вычисления.

,.

Ответ: .

Рассмотрим элемент поверхности и его проекции на координатные плоскости Запишем вектор элемента поверхности в виде.

.

Определение 2. Поверхностным интегралом второго рода называется предел интегральной суммы Поверхностный интеграл второго рода называют также поверхностным интегралом по координатам. Учитывая формулу для вектора площади можно записать его в виде.

.

Вычислять этот интеграл можно, рассматривая проекции поверхности на координатные плоскости и вычисляя затем соответствующие двойные интегралы.

Пример 2. Вычислить поток вектора через верхнюю часть поверхности, ограниченной плоскостями .

Решение. Поверхность представляет собой параболоид, накрывающий квадратный цилиндр с образующими, параллельными оси z. Сделаем рисунок проекции этой поверхности на плоскость xy.

Вычисления:

Ответ: .