Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y (t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y (t) этого показателя приведен ниже.

Табл. 1

Требуется:

• 1) проверить наличие аномальных наблюдений;
• 2) построить линейную модель (t) = a0+a1t, параметры которой оценить МНК ((t) — расчетные, смоделированные значения временного ряда);
• 3) оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7−3,7);
• 4) оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации;
• 5) по построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%);
• 6) фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с точностью до одного знака после запятой.

Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение:

1) Проверим наличие аномальных наблюдений.

Для выявления аномальных наблюдений используем метод Ирвина.

Табл. 2.

Аномальных явлений нет, так как расчетные значения л t меньше табличного л t = 1,5.

• 2) Построим линейную модель по методу наименьших квадратов вида:
  • (t) = a0 + a1t.

где a0 и a1 — параметры модели, t — количество наблюдений.

Рис. 1

Рис. 2.

Табл. 3.

Линейная модель имеет вид:

(t) = 17,3 + 5t.

Рис. 3. Линейная модель и спрос на кредитные ресурсы за 9 дней.

3) Оценим адекватность построенной модели.

Проверка адекватности модели реальному явлению важным этапом прогнозирования социально-экономических процессов.

· Проверим свойство независимости остаточной компоненты.

Проверка проводится по критерию Дарбина — Уотсона.

Табл. 4

Et = Yt — t.

d1 = 1,08 d2 = 1,36.

d1.

область неопределенна. Необходимо рассчитать коэффициент автокорреляции 1 порядка.

Рис. 4.

rтабл (1) = 0,36.

|r (1)| < rтабл (1) — следовательно, автокорреляция отсутствует, уровни ряда независимы, модель по данному признаку адекватна.

· Проверим случайность уровней ряда остатков.

Проверка основывается на методе «пиков». Уровень ряда считается пиком, если он одновременно больше (меньше) двух соседних уравнений ряда. Фактическое число пиков сравнивается с расчетным.

Рис. 5.

Уровни рядов остатка случайны (модель адекватна).

· Проверим соответствия нормальному закону распределения.

Определим при помощи RS — критерия.

RS = (Emax — Emin)/S.

Где Emax — максимальный уровень ряда остатков; Emin — минимальный уровень ряда остатков; S — среднеквадратическое отклонение; Emax = 3,7; Emin = 2,3.

S =.

RS = (3,7 + 2,3) / 2,6 = 2,31.

Расчетное значение не попадает в интервал (2,7 — 3,7). Следовательно, не выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию не адекватна.

Построенная модель не вполне адекватна (т. к. не выполняется соответствие ряда остатков нормальному закону распределения).

3) Оценим точность построенной модели.

Оценку будем проводить на основе относительной ошибки аппроксимации.

Табл. 5

Средняя относительная ошибка аппроксимации = 2,78% < 5%.

Следовательно, модель достаточно точна.

4) Строим прогноз по построенным моделям. Доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%.

Вычислим точечный прогноз на два шага вперед. Подставим в полученную модель будущие моменты времени (10 и 11).

Y10 = a0 + a1*t = 17,3 + 5*10 = 67,3 (млн. руб.).

Y11 = a0 + a1*t = 17,3 + 5*11 = 72,3 (млн. руб.).

Вычислим интервальный прогноз.

Доверительный интервал:

Критерий Стьюдента (при доверительной вероятности р = 0,7; н = n — 2 = =9 — 2=7), равен: t= 1,12.

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

.

где Se = 2,8; tб = 1,12;

Вычисляем верхнюю границу прогноза.

Y10 + U (10) = 67,3 + 4, 80 = 72,1.

Y11 + U (11) = 72,3 + 5, 36 = 77,66.

Вычисляем нижнюю границу прогноза.

Y10 — U (10) = 67,3 — 4,80 = 62,5.

Y11 — U (11) = 72,3 — 5,36 = 66,94.

Табл. 6

5) Представим графически результаты моделирования и прогнозирования для этого составим таблицу:

Рис. 6. Прогноз спроса на две недели вперед