ГМТ пространства, сумма квадратов расстояний каждой из которых до двух данных точек A и B равна квадрату данного отрезка a, найдем аналогично решению двух предыдущих задач. 
Сначала рассмотрим произвольную плоскость б, содержащую прямую AB, и в ней найдем точки искомого ГМТ

Пусть M — какая-нибудь точка этой плоскости, удовлетворяющая условию AM2 + BM2 = a2. Построим параллелограмм AMBN с диагональю AB (рис.). Тогда AB2 + MN2 = 2(AM2 +BM2) = 2a2, откуда MN2 = 2a2? AB2. Так как отрезки a и AB даны, то точка M принадлежит окружности с центром в середине O отрезка AB радиуса OM =. Эта окружность существует при условии AB. Обратно, если точка M принадлежит этой окружности, то из того же параллелограмма AB2 + BM2 = (AM2 + MN2) = (AB2 +(2ОМ)2)= (АВ2+2а2-АВ2)=а2, т. е. точка M принадлежит искомому ГМТ плоскости б. Следовательно, ГМТ плоскости б, удовлетворяющих заданному условию, есть окружность.

При повороте плоскости б около прямой AB центр и радиус этой окружности остаются неизменными. Поэтому объединением всех полученных окружностей будет сфера, являющаяся искомым ГМТ пространства.

Итак, ГМТ пространства, сумма квадратов расстояний каждой из которых до двух данных точек A и B равна квадрату данного отрезка a, есть сфера с центром в середине отрезка AB и радиуса r = (AB).

Рис. 13.

Радиус r этой сферы можно построить так. На заданном отрезке a как на диаметре построим окружность и вписанный в нее некоторый прямоугольный треугольник P QK (рис.). Затем построим треугольник ABC по трем сторонам, две из которых равны катетам m и n треугольника P QK. Тогда вершина C и середина O отрезка AB определяют радиус r = OC указанной сферы. Действительно, квадрат медианы OC треугольника ABC равен OC2 = 2m2 + 2n2? AB2 = 2a2? AB2 = r2 .