Уравнение неразрывности. 
Механика

Рассмотрим некоторый объем движущейся жидкости и будем следить за ним в процессе движения. Величина и форма объема при движении могут меняться, но он состоит все время из одних и тех же частиц. Это означает, что масса рассматриваемого элемента жидкости не изменяется с течением времени.

Распределение массы жидкости в пространстве задается плотностью р = р (г, /), так что масса выделенного элемента определяется интегралом

Интегрирование ведется по объему, занимаемому элементом в момент времени г. Пусть 5 — поверхность, отделяющая выделенный элемент от остальной жидкости. Имеем (см. формулу (5.18)):

В поверхностном интеграле V — скорость точек поверхности элемента жидкости, совпадающая со скоростью жидкости в этих точках пространства. С помощью теоремы Гаусса преобразуем поверхностный интеграл в интеграл по объему. Получим.

Поскольку область интегрирования в равенстве (5.21) произвольна, а интеграл равен нулю, подынтегральное выражение тождественно равно нулю. Таким образом, из сохранения массы следует, что.

Перепишем равенство (5.20) в виде.

Интеграл по объему в левой части равенства представляет скорость изменения массы (т. е. величину йт/&) внутри фиксированной в пространстве замкнутой поверхности. (Эта масса может меняться, если масса, втекающая внутрь поверхности жидкости, не равна массе, вытекающей наружу.) Этот баланс и выражает поверхностный интеграл в правой части равенства.

Интеграл по некоторой поверхности представляет массу жидкости, протекающую за единицу времени через эту поверхность (вектор ру называется вектором тока массы и представляет массу, протекающую за единицу времени через единичную площадку, ортогональную вектору скорости). Интеграл по всей замкнутой поверхности и дает как раз разность масс втекающей и вытекающей жидкости (в тех участках поверхности, для которых у • п > 0, жидкость вытекает из объема, а там, где эта величина отрицательна, — втекает).

Если плотность в каждой точке пространства не изменяется со временем (стационарное течение) или вообще не меняется (несжимаемая жидкость),.

(Сколько жидкости втекает, столько и вытекает.).

Задача 5.12. Вода течет по трубе переменного сечения. Средняя скорость воды в сечении площадью 5, — у,. Какова средняя скорость в сечении 5₂?

Решение. Стенки трубы и два сечения образуют замкнутую поверхность. Вода практически несжимаема, так что справедлива формула (5.24). Интеграл по замкнутой поверхности разобьется на сумму интегралов по обоим сечениям и по поверхности трубы. Последний интеграл равен нулю (формально — потому что на стенке трубы векторы скорости и нормали ортогональны, физически — потому что стенки трубы непроницаемы для воды). Получимру, 5, + ру₂5*₂ = 0 => у₂ = (5₁/5'₂)у₁. Кстати, если стенки трубы протекают, этот результат нарушится. Как формально это проявится в решении?