Аксиально-симметрические поля. 
Общая теория относительности и метрики неоднородной вращающейся Вселенной

Уравнения гравитационного поля Эйнштейна имеют вид:

(1).

Здесь — тензор Риччи, метрический тензор и тензор энергии-импульса; - космологическая постоянная Эйнштейна, гравитационная постоянная и скорость света соответственно. Отметим, что в общем случае имеют место соотношения:

(2).

Здесь — тензор Римана, — символы Кристоффеля второго рода.

Гравитационные поля, обладающие осевой симметрией, рассматривались в работах Вейля, Леви-Чевита, Дельсарта, Эйнштейна и Розена, Геделя, Петрова, Зекериса и других. Метрический тензор таких полей в предположении их статичности может быть приведен к виду:

(3).

Здесь; - функции, удовлетворяющие уравнениям Эйнштейна.

Поскольку распределение материи заранее неизвестно, а астрономические наблюдения позволяют установить только распределение барионной материи, можно предположить, что метрика в большом масштабе, вообще говоря, не зависит от гипотез о распределении материи /10−11/. В правой части уравнения (1) может быть любой тензор, однозначно зависящий от метрического тензора. В этой связи рассмотрим тензор с компонентами, пропорциональными компонентам метрического тензора (3), имеем:

(4).

Остальные компоненты тензора равны нулю. Функции позволяют определить метрику (3) наиболее общим способом.

Компоненты тензора Эйнштейна в метрике (3) имеют вид:

(5).

Полагая, находим уравнения поля, которые в случае уравнений поля для вакуума совпадают с аналогичными уравнениями, приведенными в /10−11, 18/. В качестве системы уравнений для определения двух функций можно выбрать, например, два уравнения. Остальные уравнения используются для определения неизвестных параметров. В результате имеем следующую систему уравнений:

(6).

Разрешая систему уравнений (7) приходим к определению статических полей гравитации в случае наличия осевой симметрии. Сила, действующая на частицу в статическом гравитационном поле, определяется в общем случае из выражения:

(7).

Здесь — масса и вектор скорости частицы, (все компоненты этот вектора равны нулю в случае метрики (3)).

Отметим, что в нерелятивистском приближении потенциал, где — гравитационный потенциал в теории гравитации Ньютона. Из второго уравнения (7) находим оценку. В случае движения галактик в местном суперкластере скорость и гравитационный потенциал связаны между собой, что позволяет оценить величину. В таком случае в первом приближении можно пренебречь малой величиной. В результате, как и в теории гравитации Ньютона, приходим к уравнению Лапласа для определения гравитационного потенциала.

Динамика отдельных тел моделируется в соответствии с теорией Ньютона с использованием выражения силы (7), что согласуется с гипотезой (2). Рассмотрим уравнение движения потока частиц в гравитационном поле в нерелятивистском приближении, имеем:

(8).

В метрике (3) в случае стационарного радиального движения находим:

(9).

Здесь радиальная координата:

.

Отсюда находим зависимость потенциала от радиальной координаты:

(10).

Был указан потенциал общего вида, который с хорошей точностью описывает гравитационное поле в спиральных галактиках:

(11).

Здесь параметры вычисляются по данным скорости вращения. Потенциал (11) является решением первого уравнения (6) с ненулевой правой частью:

(12).

В этом приближении считаем, что. В частном случае выражение (11) сводится к квадратичной зависимости:

(13).

Учитывая, что в нерелятивистском приближении, имеем:

(14).

Записывая это уравнение в векторном виде, что справедливо в рассматриваемом случае радиального течения, находим окончательно:

(15).

Здесь — постоянная Хаббла. Таким образом, мы вывели основной закон космологии, связанный с расширением Вселенной, используя модель (2) и метрику (3), а также установили физический смысл параметра, фигурирующего в модели (12). Отметим, что обычно закон (15) выводится из модели изотропной Вселенной, в которой красное смещение связано со скоростью и расстоянием до источника излучения уравнением:

(16).

На практике наблюдают красное или синее смещение, по которому определяют скорость, согласно уравнению (17), а по скорости оценивают расстояние, используя в случае красного смещения закон Хаббла. Очевидно, что для этого необходимо знать постоянную Хаббла. Этот параметр определяют по ряду измерений расстояний до галактик.

Отметим, что в нерелятивистском приближении полученные результаты не отличаются от аналогичных результатов, полученных в работе, в которой было установлено, что квадратичное слагаемое гравитационного потенциала (11) соответствует основному радиальному течению, связанному с расширением Вселенной. Но потенциал (11) был получен в нашей работе на основе обработки эмпирических данных, поэтому его можно рассматривать как результат суммы галактических полей, каждое и которых определяется по методу путем обработки данных по скорости вращения нейтрального водорода в спиральных галактиках. Поскольку основной вклад на больших масштабах дает квадратичное слагаемое, можно восстановить гравитационный потенциал кластера галактик, используя экспериментальные данные по гравитационным потенциалам и координатам отдельных галактик в виде:

(17).

Здесь — радиус-вектор галактики с номером .

Модель движения галактик в кластере включает уравнения (8) и (17):

(18).

Здесь — число галактик в кластере. Радиальное течение типа (16) является решением системы уравнений (19) при дополнительных условиях:

(19).

В этом случае, поэтому, что и требовалось доказать. Следовательно, гравитационные поля, обладающие аксиальной симметрией, позволяют описать радиальное течение в нерелятивистском случае, который соответствует условиям в местном суперкластере. Однако в области течения, охватывающего группу суперкластеров, скорость объектов приближается к скорости света, поэтому необходимо вывести релятивистскую формулу для гравитационного потенциала и указать соответствующую метрику.