Б. З. Случайные величины. 
Функции распределения

Величина X называется случайной, если в результате опыта, она может принять то или иное возможное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами X, Y, Z, … . Конкретное значение, принимаемое случайной величиной в результате опыта, называется реализацией случайной величины. Реализации обозначаются малыми буквами х, у, z.

Дискретной называется случайная величина, которая принимает значения из конечного или бесконечного счетного множества значений (например, число дефектных изделий в партии, число отказов устройства за год и т. п.).

Непрерывная случайная величина может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала (например, время безотказной работы устройства, погрешность размера при изготовлении обуви, количество химических элементов в красителе).

по.

Закон распределения случайной величины устанавливает связь между ее возможными значениями х и соответствующими им вероятностями и является полной характеристикой случайной величины. Закон распределения может быть задан в виде:

• таблицы, или ряда, распределения (для дискретных величин):

причем

• • графика: для дискретных случайных величин — многоугольника распределения, соединяющего точки (х_;, р,), для непрерывных случайных величин — непрерывной кривой;
• • аналитически, с помощью функции F (x) = Р (Х < х) илиДх) = = Г (х).

Функция F (x) называется интегральной функцией распределения случайной величины X или просто функцией распределения, показывающей вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем х.

Свойства F (X) (рис. 6.2):

• 1) 0
• 2) F (x) — неубывающая функция, т. е. F (x₂) >F (x_x), еслих₂>х_х.

Рис. 6.2. Функция распределения непрерывной случайной величины

Функция распределения позволяет определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (а; Ь]:

Дифференциальной функцией непрерывного распределения (плотностью вероятности, или плотностью распределения) называют первую производную от интегральной функции/(х) = F'(x).

in.

Свойства плотности вероятности (рис. 6.3):

Рис. 6.3. Дифференциальная функция непрерывного распределения (плотность вероятности).