Постановка математической модели

Для численного моделирования переноса ионов через границу раздела сформулируем математическую модель. Рассмотрим перенос ионов сильного электролита типа NaCl через тонкий реакционный слой, причём при достижении предельного состояния начинается разложение молекул воды. Для учёта этого явления используем формулу для потоков ионов (1) в которой пренебрежём равновесным слагаемым и для всех четырёх сортов ионов используем формулу:

, (2).

, (3).

Реакционный слой может рассматриваться как изолированная система, основным отличиями которой является то, что параметры модели зависят от координаты. В предлагаемой модели все параметры являются распределёнными по толщине слоя характеристиками. В рамках модели мы вынуждены допустить, что следующие параметры модели , — константа скорости псевдомономолекулярной реакции диссоциации воды, коэффициенты диффузии, стандартный химический потенциал, обменная ёмкость зависят от координаты, хотя сам характер этой зависимости может быть разным. Однако, косвенно результаты по измерению размаха высот R_y дают возможности сделать некоторые предположения. Важнейшее из них касается константы скорости реакции,, которая зависит от ёмкости мембраны: примем её линейной, так как экспериментальные данные которые давали бы возможность судить об этой зависимости, неизвестны.

Толщина реакционного слоя в диапазоне рассматриваемых токов составляет несколько десятков (до сотен) нанометров при 20−100 кратном превышении предельного тока.

Скорость реакции разложения молекул воды имеет вид:

Для ионов соли, очевидно, аналогичные величины равны нулю.

, (5).

где скорость реакции разложения молекул, (Моль/см³/с).

Перенос ионов подчиняется уравнению Нернста-Планка без конвективного слагаемого. В принципе, в уравнение должен входить градиент химического потенциала, который отсутствует при описании переноса ионов в однородной физико-химической фазе,.

. (6).

Для учёта возникающего пространственного заряда используется уравнение Пуассона с ёмкостью, зависящей от координаты.

. (6).

Связь потенциала и напряжённости задаётся известной формулой.

. (7).

Краевые условия в количестве 10 по количеству имеющихся дифференциальных уравнений первого порядка зададим в виде условий Дирихле:

x = 0:, ,, ,, (7).

x = d:, ,, ,. (8).

Протекающий ток i равен алгебраической сумме потоков ионов.

.

Место разработанной наномодели в структуре трёхслойной мембранной системы показано на рис. 10.

Рис. 10. Схематический рисунок трёхслойной ионообменной мембранной системы, состоящей из диффузионных слоёв и мембраны: диффузионный слой I имеет квазиэлектронейтральную область и область пространственного заряда; мембрана имеет электронейтральную область и область пространственного заряда; диффузионный слой II электронейтрален б) микропрофиль поверхности катионообменной мембраны МК-40, полученный методом атомно-силовой микроскопии (реальная структура реакционного слоя) в) часть диффузионного слоя, реакционный слой и часть мембраны г) модель рассматриваемого нанослоя в увеличенном масштабе. Для решения краевой задачи все параметры модели стандартным образом, приводились к безразмерному виду.