Исследование напряженно-деформированного состояния рабочей палубы морской стационарной платформы методом конечных разностей

В настоящее время основные инженерные расчеты по определению прочностного состояния конструкций выполняются с применением различных программных комплексов, но современный инженер должен хорошо владеть также и навыками оценочных расчетов. Это необходимо для того, чтобы сделать предварительный прогноз или текущий анализ по напряженно-деформированному состоянию конструкций и многому другому. В данной статье приведен один из таких методов расчета — метод конечных разностей (МКР).

Палуба платформы как расчетная схема представляет собой тонкую пластинку. Зная конечно-разностную форму уравнения поверхности (1) для промежуточных точек.

(1).

дополнительно необходимо учесть граничные условия: жесткий край — прогибы и углы поворота равны нулю; шарнирный край — прогибы и моменты равны нулю; свободный край — соблюдаются соотношения.

Прогиб W в точке i пластинки будет вычисляться по формуле (2) [2].

. (2).

С учетом симметрии была составлена матрица коэффициентов при неизвестных прогибах. Исходные данные: форма пластины прямоугольная размером 36×36 м, оперта по краю шарнирно. Шаг сетки принят 3 м. Вес цистерны 372,2 кН. Внешняя нагрузка от цистерн с нефтепродуктами прикладывается в узлы 1−4, 6−9, 11−14, 16−19 и половинная нагрузка от цистерн приложена в узел 21.

Расчет осуществлялся в два этапа с учетом симметрии пластинки (верхняя правая четверть (рис. 1) симметрична нижней левой четверти, а верхняя левая — нижней правой). Полученные результаты с учетом симметрии распространяются на нижние четверти пластинки.

Для промежуточных узлов были записаны конечно-разностные выражения, решение которых проводилось при помощи программного комплекса Mathcad. Решение системы разрешающих алгебраических уравнений приведено в табл. 1. В этой же таблице для сравнения представлены результаты расчета с использованием метода конечных элементов (МКЭ).

По полученным значениям прогибов с использованием конечно-разностных выражений построены эпюры изгибающих и крутящих моментов, а также эпюры поперечных сил:

(3).

(4).

. (5).

Результаты расчета пластинки по МКР и методом конечных элементов.

На рис. 2 показана эпюра изгибающих моментов относительно оси у, пунктирной линией — эпюра по результатам расчета методом конечных разностей, сплошной линией — по результатам расчета методом конечных элементов.

На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы. При использовании МКР для плиты было составлено 25 разрешающих уравнений (перемещение по оси Z), причем уравнения составлялись сразу с учетом граничных условий. При решении этой же задачи методом конечных элементов необходимо составить 36 локальных матриц жесткости для отдельных конечных элементов пластинки, а затем, используя эти матрицы и учитывая граничные условия, составить 75 разрешающих уравнений (перемещение по оси Z, угловые перемещения по осям Х и Y). Хорошо видно, что в первом случае количество сопутствующих вычислений значительно меньше. Также к достоинствам МКР можно отнести более точные значения эпюры изгибающих моментов в характерных точках (шарниры, на границах пластины и т. п.). На рис. 2 видно, что в шарнире при расчете по МКЭ момент не равен нулю. Это объясняется тем, что в МКЭ внутренние усилия в пластинке определяются через узловые перемещения и распространяются на всю площадь элемента, в МКР усилия определяются для узловых точек.

В тоже время в целом по всей эпюре моментов метод конечных разностей дает большие значения внутренних усилий, чем точные решения в аналогичных задачах. Для предварительных расчетов и оценки напряженно-деформированного состояния системы это не является большим недостатком, но для последующих окончательных расчетов необходимо применять более точные методы или программные продукты для решения систем уравнений с большим количеством неизвестных, позволяющие увеличить число элементов и узлов в рассматриваемой задаче.

инженерный деформированный уравнение.

• 1. Воронкова Г. В., Рекунов С. С. Особенности расчета пластинок по методу конечных элементов в смешанной форме // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Строительство и архитектура. 2007. № 7. С. 74−77.
• 2. Ильин В. П., Карпов В. В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики. Минск: Вышэйшая школа, 1990. 349 с.
• 3. Самарский А. А, Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. Москва: Наука, 1978. 592 с.
• 4. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. Москва: Физматгиз, 1963. 636 с.
• 5. Трушин С. И. Расчет пластин и пологих оболочек методами нелинейного программирования // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Инженерные исследования. 2003. № 2. С. 40−45.
• 6. Шестаков С. А., Попов А. В., Душко О. В. Сварные металлические конструкции. Расчет и проектирование. Волгоград: ВолгГАСУ, 2007. 110 с.
• 7. Egorov Y.V. On the Lagrange problem about the strongest colonn // Rapport Interne 02−16. Universite Paul Sabatier, Toulouse. 2002. pp. 1−7.
• 8. Zhenhai Guo, Xudong Shi. Experiment and Calculation of Reinforced Concrete at Elevated Temperatures [English]. Publisher: Butterworth-Heinemann. y. 2011. 226 p.
• 9. Козельская М. Ю., Чепурненко А. С., Литвинов С. В. Применение метода Галёркина при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Инженерный вестник Дона, 2013, № 2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1714.