Законы Ома и Кирхгофа для комплексных амплитуд токов и напряжений

Законы Ома и Кирхгофа применимы в своих классических формулировках для комплексных амплитуд токов и напряжений.

Закон Ома: комплексная амплитуда напряжения на участке цепи прямо пропорционально комплексной амплитуде протекающего через него тока. Для двухполюсного участка цепи его можно записать в виде.

или, (5.14).

где — полное комплексное сопротивление, а — полная комплексная проводимость участка цепи. Первый закон Кирхгофа; алгебраическая сумма комплексных амплитуд сходящихся в узле токов равна нулю,.

. (5.15).

Второй закон Кирхгофа; алгебраическая сумма комплексных амплитуд падений напряжения на элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме комплексных амплитуд ЭДС идеальных источников напряжения, включенных в этот контур,.

. (5.16).

Знаки в алгебраических суммах определяются выбранными положительными направлениями токов и напряжений и направлением обхода контура.

Комплексные сопротивления и проводимости элементов цепи

Значения комплексных сопротивлений и проводимостей элементов цепи R, L и C приведены в табл. 5.2 (запомните эти формулы).

Таблица 5.2.

Комплексные сопротивление и проводимость сопротивления всегда действительны (мнимая часть равна нулю), а индуктивности и емкости — мнимые (действительная часть равна нулю).

Для комплексного сопротивления из закона Ома (5.14) можно записать.

(5.17).

где — сдвиг фаз между напряжением и током в элементе. Для сопротивления напряжение и ток совпадают по фазе, то есть и из (5.17) величина действительна.

В индуктивности напряжение опережает по фазе ток на 900 (на радиан), следовательно.

тогда.

и величина комплексного сопротивления индуктивности оказывается с нулевой действительной и положительной мнимой частями. В емкости.

.

и ее комплексное сопротивление имеет нулевую действительную и отрицательную мнимую части.

Аналогичный анализ проводимости элементов цепи проведите самостоятельно.

Комплексные сопротивление и проводимость участка цепи

Полные комплексные сопротивления (и проводимости) двухполюсного участка цепи с произвольным соединением элементов определяются по тем же правилам, что и для цепи постоянного тока:

• — комплексное сопротивление последовательного соединения двухполюсников равно сумме их комплексных сопротивлений;
• — комплексная проводимость параллельного соединения двухполюсников равна сумме их комплексных проводимостей.

Например, сопротивление последовательной цепи, показанной на рис. 5.1а при кОм и пФ на частоте кГц равно.

кОм, а проводимость параллельной цепи на рис 5.1б ;

Рис. 5.1.

Сим.

Зная комплексное сопротивление цепи, можно определить ее комплексную проводимость и наоборот,.

(5.18).

Например, для последовательной цепи на рис. 5.1а ее проводимость равна Расчет проведен методом устранения комплексности знаменателя путем умножения числителя и знаменателя дроби на множитель, комплексно-сопряженный знаменателю.

Можно провести вычисление проводимости путем преобразования комплексного сопротивления из алгебраической формы в показательную,.