Методы обработки экспериментальных данных

Получено сто значений одной и той же величины Х:

4,2.	5,4.	8,4.	12,6.	4,8.	0,6.	13,8.	1,2.	9,6.	32,4.
	3,6.	24,6.	27,6.	4,2.	40,8.			1,2.
56,4.			14,4.	4,2.		37,2.	7,2.		6,6.
14,4.		13,2.	7,2.		13,8.		17,4.		1,8.
20,4.	10,8.	38,4.	32,4.	0,6.		22,8.	17,4.		7,8.
16,2.	3,6.		12,6.	4,2.	13,8.	55,2.	25,2.	1,8.
11,4.	2,4.		5,4.	6,6.	0,6.	9,6.	9,6.	3,6.	49,2.
	5,4.	5,4.		5,4.	0,6.		4,2.	15,6.	0,6.
		4,2.	6,6.		20,4.	25,8.	28,8.	18,6.	6,6.
6,6.	12,6.	4,2.	1,2.	5,4.	34,8.	31,8.	4,2.	11,4.	30,6.

Решение.

1. По формулам находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х (n=100).

Математическое ожидание:

МХ == = 13,4.

Исправленная дисперсия:

X = = 179,6.

Выборочная дисперсия:

X = X = 177,8.

2. Рассчитаем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, предварительно задав доверительную вероятность (1 —) = 0,95. Тогда по таблице значений функции Лапласа находим и, следовательно, искомые доверительные интервалы будут иметь вид:

для математического ожидания:

для дисперсии:

3. Находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины X в интервал (0,7;1) = (9,4;13,4).Так как в этот интервал попало m=12 экспериментальных значений, то искомая оценка будет равна:

4. Рассчитываем доверительный интервал для вероятности Р, оцененной в предыдущем пункте. Доверительная вероятность равна (1-) = 0,9. Тогда =1,65, и искомый интервал имеет вид :

5. Для построения гистограммы Г (x) заключаем все экспериментальные данные в интервал (0;60) и разбиваем его на 10 равных разрядов, каждый длиной 6. Для каждого разряда рассчитываем:

значение гистограммы Г (x):

.

где — число экспериментальных точек, попавших в этот разряд ,.

а — его длина.

частоты попадания экспериментальных точек в разряды гистограммы:

Разряд.	Частота попадания Х в разряд.	Значение гистограммы Г (x)
(0;6).	0,42.	0,0700.
(6;12).	0,17.	0,0283.
(12;18).	0,15.	0,0250.
(18;24).	0,05.	0,0083.
(24;30).	0,07.	0,0117.
(30;36).	0,06.	0,0100.
(36;42).	0,04.	0,0067.
(42;48).	0,01.	0,0017.
(48;54).	0,01.	0,0017.
(54;60).	0,02.	0,0033.

Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле:

;

где — число экспериментальных точек, лежащих левее х.

• 6. Находим доверительные области для плотности распределения f (x) и функции распределения F (x).
• а) Для плотности распределения.

На каждом разряде находим доверительную область для вероятности попадания исходной величины X в этот разряд. Вычисляем по формуле (пункт 4.) с заменой величины соответственно на. В данном случае общее число разрядов r=10 плюс 1 полубесконечный разряд, r=11. Доверительная вероятность (1-)=0,95, из условия:

= 0,4977.

и, используя таблицу значений функции Лапласа, находим = 2,84.

— плотность на i-ом разряде;

— доверительные границы для плотности, которая находится по формуле:

.

;

длина разряда.

б) Для функции распределения.

По таблице распределения величины (распределение Колмогорова) находим ее величину, соответствующую коэффициенту доверия (1-) = 0,8. Она равна =1,07. Затем рассчитываем доверительную область для функции распределения F (x): математический ожидание дисперсия гистограмма.

= 0,107.

7. Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть экспоненциальное распределение для плотности распределения:

для функции распределения:

• 8. Проверка правдоподобия гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом при заданном уровне значимости.
• а) С помощью критерия Колмогорова.

Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения равно в данном случае:

Экспериментальное значение критерия Колмогорова равно:

Гипотетическое значение этого критерия при уровне значимости б=0,1 (по таблице Колмогорова) равно 1,22.

Таким образом,, следовательно, гипотеза по критерию Колмогорова является правдоподобной.

б) С помощью критерия согласия.

Экспериментальное значение вычисляется по формуле:

где для экспоненциального распределения определяется следующим образом:

;

0,42.	0,361.
0,17.	0,230.
0,15.	0,147.
0,05.	0,094.
0,07.	0,060.
0,06.	0,038.
0,04.	0,025.
0,01.	0,016.
0,01.	0,010.
0,02.	0,006.

Экспериментальное значение, согласно вышеуказанной формуле = 10,05.

Теоретическое значение зависит от двух величин (б, s). Уровень значимости б = 0,1; число степеней свободы:

S = r — 1 — k.

Для экспоненциального распределения k = 1.

S = 11−1-1 = 9.

Значит, теоретическое значение (по табл.).

Таким образом,.

<;

гипотеза является правдоподобной.