Математические характеристики кластера

Кластер имеет следующие математические характеристики:

Центр кластера — это среднее геометрическое место точек в пространстве переменных.

(1.2).

Дисперсия кластера — это мера рассеяния точек в пространстве относительно центра кластера:

(1.3).

Среднеквадратичное отклонение (СКО) объектов относительно центра кластера:

(1.4).

Радиус кластера — максимальное расстояние точек от центра кластера [8, с.112]:

(1.5).

Спорный объект — это объект, который по мере сходства может быть отнесен к нескольким кластерам.

Размер кластера может быть определен либо по радиусу кластера, либо по среднеквадратичному отклонению объектов для этого кластера. Объект относится к кластеру, если расстояние от объекта до центра кластера меньше радиуса кластера. Если это условие выполняется для двух и более кластеров, объект является спорным.

Неоднозначность данной задачи может быть устранена экспертом или аналитиком.

Работа кластерного анализа опирается на два предположения: Первое предположение — рассматриваемые признаки объекта в принципе допускают желательное разбиение совокупности объектов на кластеры. Второе предположение — правильность выбора масштаба или единиц измерения признаков.

Выбор масштаба в кластерном анализе имеет большое значение. Рассмотрим пример. Представим себе, что данные признака х в наборе данных, А на два порядка больше данных признака у: значения переменной х находятся в диапазоне от 100 до 700, а значения переменной у — в диапазоне от 0 до 1.

Тогда, при расчете величины расстояния между точками, отражающими положение объектов в пространстве их свойств, переменная, имеющая большие значения, т. е. переменная х, будет практически полностью доминировать над переменной с малыми значениями, т. е. переменной у. Таким образом из-за неоднородности единиц измерения признаков становится невозможно корректно рассчитать расстояния между точками.

Эта проблема решается при помощи предварительной стандартизации переменных. Стандартизация (standardization) или нормирование (normalization) приводит значения всех преобразованных переменных к единому диапазону значений путем выражения через отношение этих значений к некой величине, отражающей определенные свойства конкретного признака. Существуют различные способы нормирования исходных данных.

Два наиболее распространенных способа:

• — деление исходных данных на среднеквадратичное отклонение соответствующих переменных;
• — вычисление Z-вклада или стандартизованного вклада.

Наряду со стандартизацией переменных, существует вариант придания каждой из них определенного коэффициента важности, или веса, который бы отражал значимость соответствующей переменной. В качестве весов могут выступать экспертные оценки, полученные в ходе опроса экспертов — специалистов предметной области. Полученные произведения нормированных переменных на соответствующие веса позволяют получать расстояния между точками в многомерном пространстве с учетом неодинакового веса переменных.

В ходе экспериментов возможно сравнение результатов, полученных с учетом экспертных оценок и без них, и выбор лучшего из них [2, с.82].