Формула Ньютона. 
Элементы теории погрешностей. 
Интерполяция и аппроксимация функций

Интерполяционный полином в форме Лагранжа, несмотря на своё изящество, неудобен для вычислений тем, что при увеличении числа узлов интерполяции приходится перестраивать весь полином заново.

Перепишем интерполяционный полином Лагранжа в иной, эквивалентной форме.

.

где — полиномы Лагранжа степени, соответствующие узлам интерполирования. В частности, — полином нулевой степени.

Полином имеет степень и по построению обращается в ноль при поэтому его можно представить в виде.

.

где — числовой коэффициент при. Поскольку не содержит степени, то просто совпадает с коэффициентом при в полиноме. Согласно и его можно записать в виде.

.

Где.

.

При этом.

.

Формулы и позволяют написать рекуррентное соотношение для полинома :

.

Выражая аналогичным образом по индукции через, через и т. д., получим окончательную формулу для полинома :

Представление удобно для вычислителя, поскольку увеличение на единицу требует только добавления к «старому» многочлену одного дополнительного слагаемого. Такое представление интерполяционного полинома называют интерполяционным полиномом в форме Ньютона.

Из трех эквивалентных представлений интерполяционного полинома первой степени — формула дает его запись в форме Ньютона.