Линейная модель метода главных компонент

Метод Фадеева — одновременное вычисление коэффициентов характеристического многочлена и присоединенной матрицы Общие положения Рассмотрим модель метода главных компонент:

(6).

где — r-я главная компонента;

— вес r-й компоненты на j-й переменной;

— центрированное (нормированное) значение j-признака.

Главные компоненты являются характеристическими векторами ковариационной матрицы.

Множество главных компонент представляет собой удобную систему координат, а соответствующие дисперсии главных компонент характеризуют их статистические свойства. Из общего числа главных компонент для исследования, как правило, оставляют m (m.

Таким образом, несмотря на то, что в методе главных компонент для точного воспроизведения корреляций и дисперсий между переменными необходимо найти все компоненты, а по главным компонентам описать признаки. Для центроидного метода факторного анализа это принципиально невозможно; можно лишь добиваться, чтобы дисперсия остатков была минимальной. Метод главных компонент одинаково хорошо приближает ковариации и дисперсии. Следует отметить еще одно существенное свойство метода — это его линейность и аддитивность. Центроидный метод, например, несет в себе только гипотезу линейности. Если она не верна, то результаты могут быть использованы только для первого приближения. В настоящее время часто используется центроидный метод для получения приближенных оценок, которые затем уточняются методом максимума правдоподобия.

Метод Фадеева — одновременное вычисление коэффициентов характеристического многочлена и присоединенной матрицы.

При помощи методы Фадеева одновременно определяются:

а) — скалярные коэффициенты характеристического многочлена.

(7).

б) B1, B2,…, Bn-1 — матричные коэффициенты присоединенной матрицы.

При помощи trA следа матрицы получаем.

.

если — характеристики числа матрицы A, т. е.

.

Теорема. Если — все характеристические числа (с учетом крайностей) матрицы A, а — некоторый скалярный многочлен, то — являются характеристическими числами матрицы .

Частный случай. Дана матрица A; - ее характеристические числа. Определить характеристические числа матрицы .

В соответствии с теоремой =.

Поэтому .

Отсюда следует, что.

Суммы.

степеней многочлена (7) связаны с коэффициентами этого уравнения формулами Ньютона.

(8).

Метод Леверрье. Определение коэффициентов характеристического многочлена по следам степеней матрицы заключается в следующем:

• 1) определяются — следы матрицы .
• 2) по (8) последовательно определяются .

Метод Фаддеева.

Фаддеев предложил вместо следов степеней матриц вычислять последовательно следы других матриц и с их помощью определить и .

Для контроля вычислений можно воспользоваться последней формулой. Убедимся, что по системе (9); последовательно определяемые, являются коэффициентами и .

Используя систему (9) для и получим:

(10).

(11).

Приравняем следы левой и правой частей (10).

(12).

Выражения (12) и (8) совпадают с формулами Ньютона, по которым последовательно определяются коэффициенты характеристического многочлена. Значит, числа системы (9) являются коэффициентами .

По формуле (11) определяют матричные коэффициенты присоединительной матрицы .

Значит система (9) определяет коэффициенты матричного многочлена .

Пример. Вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы Решение методом Фаддеева.

1. Составим характеристическое уравнение.

• 2. Запишем его в виде многочлена 3-ей степени относительно
• 3.
• 4.

5.

• 6. Получены все члены характеристического уравнения
• 7. Определим корни характеристического уравнения

8. Определим собственный вектор, соответствующий л1=9; подставим в систему уравнений л=9.

Система однородная, все bi, т. е. определители, равны 0. Система неполная (уравнения зависимы) и имеет бесконечное множество решений. Одно решение может быть выбрано произвольно. В этом случае можно определить отношение корней: ,.

где Аij-алгебраические дополнения элементов любой строки.

Решение этой системы уравнений позволяет определить следующие соотношения: .

Значит, собственный вектор

.

• 9. Определим собственный вектор, соответствующий л2=6.
• 10. Определим собственный вектор, соответствующий л3=3.