Теоретические основы проблемы исследования

Невозможно представить процесс обучения математике в школе без задач. Математическая задача — один из базовых элементов, выполняющий важнейшие функции образовательного процесса и играющие в нем ключевую роль.

Математические задачи являются одним из средства формирования у школьников высокой математической культуры и активизации обучения математике, решение этих задач способствует овладению системой знаний, умений и навыков, которые учащиеся приобретают в процессе изучения математики.

При помощи задач могут достигаться очень разнообразные цели:

• · Введение понятий
• · Иллюстрация введенного понятия
• · Контроль уровня усвоения знания
• · Выработка необходимых умений и навыков
• · Развитие познавательного интереса
• · Развитие мотивации к поисковой и творческой деятельности
• · Развитие математического мышления

Умение решать математические задачи является наиболее яркой характеристикой математического развития учащихся, уровня их математического образования. [17].

Математические задачи в обучение математике также обладают рядом важных функций:

• 1. Обучающие функции задач — это функции, направленные на формирование у школьников системы. математических знаний, умений и навыков на различных этапах ее усвоения.
• 2. Воспитывающие функции задач — функции, направленные на формирование у школьников диалектико-материалистического мировоззрения, познавательного интереса и навыков учебного труда, а также на воспитание нравственных качеств личности
• 3. Развивающие функции задач — функции, направленные на развитие мышления школьников (в частности, на формирование у них качеств научно-теоретического мышления), на овладение ими приемами эффективной умственной деятельности.
• 4. Контролирующие функции задач — это функции, направленные на установление уровней обученности и обучаемости, способности к самостоятельному изучению математики, уровня математического развития учащихся, а также уровня в области сформированности познавательных интересов [17]

Важно отметить так же и значение, которое при обучении математике имеют задачи.

Образовательное значение математических задач.

Решая математическую задачу, учащийся познает много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теоретические разделы математики, необходимые для решения задачи, и т. д. Иными словами, при решении математических задач учащиеся приобретают математические знания, повышают своё математическое образование. При овладении методом решения некоторого класса задач у учащегося формируется умение решать такие задачи, а при достаточной тренировке — и навык, что тоже повышает уровень математического образования.

Практическое значение математических задач.

При решении математических задач ученик обучается применять математические знания к практическим нуждам, готовится к практической деятельности в будущем, к решению задач, выдвигаемых практикой, повседневной жизнью. Почти во всех конструкторских расчетах приходится решать математические задачи, исходя из запросов практики. Исследование и описание процессов и их свойств невозможно без привлечения математического аппарата, т. е. без решения математических задач.

Воспитательное значение математических задач.

Прежде всего, задача воспитывает своей фабулой, текстовым содержанием. Поэтому фабула многих математических задач существенно изменяется в различные периоды развития общества. Но воспитывает не только фабула задачи, воспитывает весь процесс обучения решению математических задач. Правильно поставленное обучение решению математических задач воспитывает у учеников честность и правдивость, настойчивость и преодоление трудностей, уважение к труду своих товарищей.

Они развивают логическое и алгоритмическое мышление учащихся, вырабатывают практические навыки применения математики, формируют диалектико-материалистическое мировоззрение, являются основным средством развития пространственного воображения, а также эвристического и творческого начал.

При обучении теоретическим знаниям задачи способствуют мотивации введения понятий, выявлению их существенных свойств, усвоению математической символики и терминологии, раскрывают взаимосвязи одного понятия с другими.

В процессе изучения теоремы задачи выполняют следующие функции: способствуют мотивации ее введения; выявляют закономерности, отраженные в теореме; помогают усвоению содержания теоремы; обеспечивают восприятие идеи доказательства, раскрывают приемы доказательства; обучают применению теоремы; раскрывают взаимосвязи изучаемой теоремы с другими теоремами.

С изменением роли и места задач в обучении обновляются и видоизменяются и сами задачи. Раньше они формулировались с помощью слов «найти», «построить», «вычислить», «доказать», в современной школе чаще используются слова «обосновать», «выбрать из различных способов решения наиболее рациональный», «исследовать», «спрогнозировать различные способы решения» и т. д.

Сложность и трудность задач.

В основе Федерального государственного образовательного стандарта лежит системно-деятельностный подход, который должен обеспечивать построение образовательного процесса с учетом индивидуальных возрастных, психологических и физиологических особенностей обучающихся. [35] Это влечет за собой необходимость дифференцирования учебного материала по уровням сложности, в том числе, и задачного материала. Различают две характеристики задача: трудность и сложность.

Для проведения такой дифференциации необходимы критерии, которые позволят оценивать сложность и трудность конкретных задач. В дальнейшем это будет необходимо для расположения задач в учебнике по возрастанию их уровня сложности и для подбора задач для составления равноценных вариантов контрольных работ.

Существует различные подходы к определению понятий сложности и трудности задач по математике.

Одним из первых классифицировал учебные задачи Г. А. Балл. Согласно его исследованию, сложность задачи отождествлялась со сложностью её решения. Более того, учитывалась реальная сложность решения и нормативная сложность. Отдельно, стоит отметить, что реальная сложность задачи определяется после её решения отдельным обучающимся, поэтому в большинстве случаев, реальная сложность оказывается выше нормативной, то есть сложности задачи при решении её нормативным способом.

Трудность задачи, согласно исследованию Г. А. Балла, характеризуется количеством тех усилий, который решающий прикладывает к решению, то есть расходом его умственных ресурсов. Разделяются интегральная и дифференциальная трудности задачи. Интегральная трудность отражает трудоемкость — объем расходования ресурсов, а дифференциальная — интенсивность расходования. [2].

На втором всесоюзном съезде психологов сложность задачи определяется следующими основными характеристиками:

• а) в какой форме выражено в условии требование использовать известные знания (прямой, косвенной или это требование вовсе отсутствует, то есть решающий должен привлечь знания по собственной инициативе)
• б) насколько явно в задаче выражено общее (понятие, принцип, закон) на основе которого осуществляется перенос на конкретные случаи. [18]

Польский ученый Винценты Оконь, известный своими работами в области проблемного обучения, так определяет трудность и сложность задач:

Сложность определяется необходимостью расчленения задачи на более простые подзадачи.

Трудность — необходимостью учащегося актуализировать определенную часть имеющегося опыта и одновременно изобрести нечто новое, позволяющее данную задачу решить. [28].

А.М. Матюшкин предлагает более структурированные определения.

Согласно его взгляду сложность задачи характеризуется:

• а) числом условий задачи (числом конкретных данных).
• б) числом существующих взаимосвязей между данными, между данными и искомым.
• в) числом опосредованных действий, необходимых для достижения искомого.
• г) числом преобразований, приводящих к искомому.

Трудность характеризуется соотношением:

• а) степени новизны и обобщенности усваиваемого неизвестного и
• б) интеллектуальными возможностями учащегося [24].

Рыженко построил концепцию применения информационно-логического похода к оценке сложности и трудности задач школьного курса геометрии. Эта концепция направлена на обоснование построения циклов геометрических задач для реализации уровневой дифференциации и принципов индивидуального подхода к обучению математике. Используя логические законы алгебры высказываний, автором выведена структурная формула решения задач, содержащая n переменных. Так же автором предложен способ нахождения числа формул (следствий) В данной работе введено понятия сложности окрестности задачи и предложена формула для её нахождения структурной формулы задачи. Сложностью решения по определению является отношение числа m (переменных в структурной формуле искомого решения задачи) к n (переменных в структурной формуле полного решения задачи) В современной науке нет единой точки зрения на качественное и количественное оценивание трудности школьных математических задач Авторы многих исследований под трудностью задачи понимают трудность процесса её решения, хотя Колягин обосновал, что это разные реальности.

При создании теорий не учитывают того, что трудности носят логический и психологический характер и это никак не фиксируется в количественной и качественной оценке трудности задач.

Справедлив мысль А. А. Столяра о том, что трудность задачи как понятие носит прагматический характер. Добавим к этому, что проблема количественной оценки трудности задач носит прикладной характер и может решаться по-разному в зависимости от проблемы. [33].

Формализация количественного выражения оценки трудности задачи упрощает процедуру подсчета, но может быть причиной недостаточной точности.

Возможно, что в оценивании трудности задач вряд ли приемлема ситуация, когда она оценивается какими-либо экспериментами. Также нет смысла учитывать количество учащихся, уже решивших задачу, так как учителю нужно заранее знать, как составлять систему задач с учётом трудности.

Трудность логического обоснования решения задачи и трудность процесса логического поиска её решения тоже «разные реальности».

В.Г. Болтянский говорил: «Трудность решения задачи заключается не только и не столько в том, что надо выполнить несколько упражнений; основная трудность состоит в отыскании необходимой последовательности тех упражнений, выполнение которых ведет к решению задачи. Даже если выполнение упражнений, которые могут понадобиться, доведено до степени навыка». [3] Вопрос о том, какие упражнения и в какой последовательности (подчас совершенно неожиданной) нужно выполнить для решения задачи, остается основным и нетривиальным.

Подводя итоги, надо отметить, что все авторы сходятся в том, что трудность задачи является её субъективной характеристикой, то есть зависящей от конкретного решающего, в то время как сложность является объективной характеристикой, которая может быть рассчитана и определена для каждой задачи единственным образом, согласно выбранному определению.

Появление первых техник развития критического мышление, как и появление самого термина, корнями уходит во времена античности, когда в своей преподавательской практике древнегреческий ученый и философ Сократ применял метод, привлекающий использование вопросов для поиска истины, сейчас известный как «вопросный метод Сократа» или «диалог Сократа».

В дальнейшем, такие последователи Сократа как Платон и Аристотель, наряду с другими Греческими скептиками, отмечали, что зачастую реальное положение вещей разительно отличается от того, как ситуация была впервые воспринята человеком, и только человек с развитым умом способен смотреть сквозь то, что лежит на поверхности, чтобы увидеть истину под ней.

В средние века идея систематического критического мышления была рассмотрена и применена в трудах и преподавательской практике Фомы Аквинского.

В период Ренессанса многие ученые стали критически оценивать такие неотъемлемые части жизни человека как религия, искусство, общественные отношения, закон, свобода и сама человеческая природа. Среди всех трудов заметно выделяются работы Джона Колета, Эразма Роттердамского, Томаса Мора и Френсиса Бэкона.

Пятьюдесятью годами позже, Рене Декарт в своей работе «Правила для руководства ума» утверждает о необходимости появления такой системы развития умственной деятельности, при которой каждый этап рассуждения должен подвергаться последовательно сначала сомнению, а потом подтверждению или опровержению.

Именно при помощи критического осмысления действительности и в стремлении достичь интеллектуальной свободы такие ученые как Роберт Бойль и Исаак Ньютон писали свои работы. В труде «The Sceptical Chymis» (Скептическая Химия) Бойль подвергает критике всю сложившуюся к тому времени химическую теорию, а Ньютон в свою очередь развивает новую теорию представлений о законах физики, которая во многом не соответствует общепринятым на тот момент.

К двадцатому веку представление о силе критического осмысления действительности стало намного более точным. Благодаря историческому развитию методов критического мышления, возросло количество средств и ресурсов, к которым мог обратиться критически мыслящий человек. Ученые из каждой области науки внесли свой вклад в развитие понятия о критическом мышлении. И, что наиболее важно, в основе большинства настоящих образовательных целей лежит подведение к общему знаменателю основных принципов критического мышления, развивавшихся с течением времени.

Это подведение состоит в том, что «вопросы Сократа», лежащие у истоков развития технологии развития критического мышления, в настоящее время могут быть применены более целенаправленно. Теперь в каждой области человеческого знания можно подвергнуть сомнению:

• · Заключение или ответ.
• · Саму формулировку вопроса.
• · Источник информации и фактов.
• · Метод получения информации.
• · Качество полученной информации.
• · Цепочку использованных рассуждений.
• · Основу использованной цепочки рассуждений.
• · Предположение, выдвинутое для рассуждения.
• · Каждое полученное из рассуждения следствие.

Другими словами, любые вопроса, подвергающие сомнению перечисленные этапы процесса рассуждения, лежат в основе критического мышления. Конечно, даже при таком способе рассуждения существует вероятность возникновения логических ошибок, но остается важным объяснить учащимся, что чтобы эта вероятность была как можно меньше, им необходимо выдвигать свои предположения по решению каждой проблемы и не бояться вступать в их обсуждение. [40].

Что же такое критическое мышление и почему оно настолько важно? К определению критического мышления подходили многие, и опирается оно, прежде всего, на понятие критики. Прежде всего «критика» подразумевает целостный процесс, продолжающийся непрерывно, и обусловленный возникающими противоречиями между представлением человека об объекте и фактами реальной действительности. «Критика есть действительная человеческая деятельность индивидуумов, являющихся активными членами общества, которые, как люди, страдают, чувствуют, мыслят и действуют», — подчеркивал Ф. Энгельс.

В словаре русского языка Ожегова дается следующее определение:

Критика — обсуждение, разбор чего-нибудь с целью оценить, выявить недостатки. [27].

В Большом Энциклопедическом словаре записано более широкое определение:

Критика (от греч. kritike — искусство разбирать — судить).

• 1) разбор (анализ), обсуждение чего-либо с целью дать оценку.
• 2) Отрицательное суждение о чем-либо (в науке, искусстве, общественной жизни и т. д.), указание недостатков.
• 3) Исследование, научная проверка достоверности, подлинности чеголибо [4].

Исходя из определений критики, можно говорить о том, что само понятие «критическое мышление» в педагогике не возникло в связи с обобщением накопленного опыта преподавания, а стало результатом синтеза понятия о мышлении, в общем, и понятия критики, рассматриваемого на протяжении долгого времени знаменитыми философами и учеными. С одной стороны, понятие критического мышления можно связать с ситуациями конфликтов и дискуссий, предполагающими наличие столкновения точек зрения и опровержением той или иной из них. С другой стороны, критическое мышление объединяет понятия аналитического мышление, логического мышления и творческого мышления.

Стоит отменить, что сам термин «критическое мышление» употреблялся ещё известными психологами Ж. Пиаже, Дж. Брунером и Л. С. Выготским, но в широкое употребление в России он вошел сравнительно недавно.

В международном сообществе существует множество подходов к определению критического мышления. Так Михаэль Скривен и Ричард Поул формулируют определение критического мышления как «интеллектуального дисциплинированного процесса активного анализа, синтеза, конкретизации, и/или оценивания собранной, полученной опытным путем или в процессе общения, информации, с последующим применением полученных знаний».

Одно из определений критического мышления также было выдвинуто Д. Халперн. Согласно ему, «критическое мышление — это использование когнитивных техник или стратегий, которые увеличивают вероятность получения желаемого конечного результата». [36] Из этого определения следуют такие свойства критического мышления как:

• · Контролируемость.
• · Обоснованность.
• · Целенаправленность.

И направленность такого мышления на решение задач, формулирование выводов и вероятностное оценивание и принятие решений. [36] Дж. Браус и Д. Вуд определяют критическое мышление как разумное рефлексивное мышление, сфокусированное на решении того, во что верить и что делать. Неотъемлемыми частями этого процесса, по мнению авторов, является осознание собственного «Я», рассмотрение и принятие во внимание различных точек зрения, с сохранением при это объективности и логичности суждений. Критическое мышление, по их мнению, — это поиск здравого смысла: «как рассудить объективно и поступить логично с учётом как своей точки зрения, так и других мнений, умение отказаться от собственных предубеждений. Критические мыслители способны выдвинуть новые идеи и увидеть новые возможности, что весьма существенно при решении проблем» [5].

Все перечисленные определения критического мышления довольно различны, но при этом имеют много общего. Так, все они отражают важные свойства мышления: оценочность и рефлективность. Именно эти свойства в дальнейшем и ложатся в основу технологии, позволяющей развивать у учащихся критическое мышление. Критическое мышление открыто, то есть представляет собой процесс непрекращающегося синтеза новой информации, с уже имеющимися знаниями и жизненным опытом. В его оценочном свойстве состоит главное отличие от творческого мышления, которого характеризуется способностью учащихся выходить за рамки уже имеющихся у них знаний для создания чего-то нового. При этом можно говорить о том, что критическое мышления является базой для развития творческого мышления, и в то же время они развиваются одновременно, взаимообуславливая друг друга. [16].

Существуют также и необходимые условия — качества личности, которые должны быть присущи учащемуся для успешного развития критического мышления.

Готовность к планированию. Важно помнить, что любое рассуждение не может быть построено бессистемно. Если в нем отсутствует логика, то оно теряет свой смысл и может привести к неверным выводам. Умение выстраивать план своего дальнейшего рассуждения заранее один из признаков критически мыслящего человека.

Гибкость. Это качество выражается в способности учащегося выслушивать и принимать во внимание мнения других и не делать окончательных выводов до тех пор, пока проблема не будет изучена со всех сторон.

Настойчивость. Одно из основных качеств, которое формируется у учащихся при решении задач повышенной трудности или сложности. И те, и другие задачи требуют напряжения умственных способностей и силы воли, чтобы, начав решение, довести его до конца.

Готовность исправлять свои ошибки. Критически мыслящий человек не будет оправдывать свои неправильные решения, а сделает правильные выводы, воспользуется ошибкой для продолжения обучения.

Осознание. Это умение помогает критически мыслящему учащемуся следить за логикой своих рассуждений и корректировать их не интуитивно, а с пониманием причин для этого.

Поиск компромиссных решений. Подразумевает под собой коммуникативные умения учащихся и их способность находить решение проблемы, которое будет поддержано большинством. [36].

Все эти качества, безусловно, необходимы как база для развития критического мышления, но и дальнейшее развитие этих качеств является следствием развития критического мышления. Более того, одна из важнейших задач школьного обучения — реализация личностно ориентированного процесса обучения — может быть достигнута благодаря развитию критического мышления учащихся, так как каждый из них, умея оценивать свои результаты и осознавая процесс их достижения, может выбрать именно ту стратегию обучения, которая будет необходима именно ему для достижения наилучших результатов.

Технология развития критического мышления через чтение и письмо «Развитие критического мышления через чтение и письмо» — это программа, которая в 1997 г. при поддержке Международной ассоциации чтения стала внедряться в России и ещё в 11 странах Центральной и Восточной Европы и Азии.

Один из главных вопросов, на который отвечают авторы книги «Развитие критического мышление на уроке» Заир-Бек и Муштавинская, касается определения, чем именно является «Развитие критического мышления через чтение и письмо»: программой, технологией или подходом?

Авторы утверждают, что и первым, и вторым, и третьим. Программу изначально разработали педагоги из США Джинни Стил и Курт Мередит для реформы образования в Словакии, а затем (уже вместе с Чарлзом Темплом) они модифицировали её для стран Восточной и Центральной Европы. Она включала описание не только базовой модели обучения, но ещё и целый ряд мер по её внедрению в практику (методы внедрения технологии в школах, подготовку учебных пособий, количество и последовательность обучающих семинаров для учителей и многое другое).

Технологией развития критического мышления через чтение и письмо называют базовую модель обучения (вызов — осмысление содержания — рефлексия) в совокупности с целым набором приёмов и методов. В некоторых источниках Джинни Стил, Курта Мередита и Чарлза Темпла не совсем корректно называют авторами, но они не столько придумали, сколько сумели обобщить и систематизировать богатейший теоретический и практический опыт, собрать воедино разнообразные успешно применяющиеся в разных странах мира модели, которые сами являются образовательными технологиями (например, «Обучение сообща» Э. Аронсона и Р. Славина или активные стратегии письменной работы, описанные Д. Грейвзом, Д. Мюрреем и их коллегами). Особенно важно, что базовая модель технологии стала практическим отражением закономерностей познавательной деятельности, которые были исследованы в работах классиков — Ж. Пиаже, Л. Выготского, Д. Дьюи, Б. Блума, К. Роджерса и др.

И наконец, технология развития критического мышления является новым подходом, потому что его использование предполагает отказ от традиционных представлений об обучении. Важна не только технологичность процесса, но и характер работы учеников и учителя: свобода в выборе точек зрения и отсутствие непреложных истин — всё можно обсуждать или подвергать анализу.

Как уже было отмечено, для развития критического мышления необходимо создание и применение специальных методических инструментов, одним из которых стала разработанная американскими педагогами Дж. Стил, К. Мередитом и Ч. Темплом педагогическая технология развития критического мышления посредством чтения и письма. Структура данной технологии стройна и логична, так как её этапы соответствуют закономерным этапам когнитивной деятельности личности и представлена ниже в виде таблицы.

Таблица 1. Этапы технологии развития критического мышления.

Именно на этой стадии происходит целеполагание всего дальнейшего процесса обучения в течение урока, причем цели ставятся самим учащимся, а не учителем. Наличие этой стадии позволяется руководствоваться в обучении принципами личностно ориентированного обучения.

Стадия вызова позволяется создать такие условия, которые помогу учащемуся проанализировать свои знания по определенной теме и возможность эти знания применить. Это позволяет учащему в дальнейшем сформулировать те цели обучения, которые были продиктованы его познавательными мотивами.

Другой задачей этой стадии является активизация учеников. Нередко мы видим, что некоторые школьники на уроке не прикладывают значительных интеллектуальных усилий, предпочитая дождаться момента, когда другие решат предложенную задачу. Поэтому важно, чтобы каждый смог принять участие в работе, ставящей своей целью актуализацию собственного опыта. Можно комбинировать приёмы индивидуальной и групповой работы. Например, предложить каждому учащемуся вспомнить о том, что уже известно об изучаемой теме, записать это в виде ключевых слов, затем поделиться написанным в паре или в группе, составив список ключевых слов всей группы, а после обсудить это вместе с учителем. Немаловажным аспектом при реализации стадии вызова является систематизация всей информации, полученной в результате свободных высказываний учащихся. Это позволит им, с одной стороны, увидеть собранную информацию в укрупнённом, категориальном виде, при этом в структуру могут войти все мнения: «правильные» и «неправильные»; с другой стороны, структурирование высказанных мнений выявит противоречия, нестыковку, непрояснённые моменты, которые и определят направления дальнейшего поиска в ходе изучения новой информации. Причём для каждого из учащихся эти направления могут быть индивидуальными. Школьник определит для себя, на каком аспекте изучаемой темы он должен заострить своё внимание, а какая информация требует только проверки на достоверность.

Итак, в процессе реализации стадии вызова важно:

• 1) давать учащимся возможность высказывать свою точку зрения по поводу изучаемой темы свободно, без боязни ошибиться и быть поправленными учителем;
• 2) фиксировать все высказывания: любое из них будет важным для дальнейшей работы. При этом на данном этапе нет «правильных» или «неправильных» высказываний;
• 3) сочетать индивидуальную и групповую работу: индивидуальная позволит каждому ученику актуализировать свои знания и опыт; групповая услышать другие мнения, изложить свою точку зрения без риска ошибиться. Обмен мнениями может способствовать выработке новых идей, которые часто являются неожиданными и продуктивными; появлению интересных вопросов, поиск ответов на которые будет мотивировать, стимулировать к изучению нового материала. Кроме того, часто некоторые учащиеся боятся излагать своё мнение учителю или сразу в большой аудитории, поэтому занятия в небольших группах позволяют им чувствовать себя более комфортно.

Роль учителя на этом этапе работы состоит в том, чтобы стимулировать учащихся к вспоминанию того, что они уже знают по изучаемой теме, способствовать бесконфликтному обмену мнениями в группах, фиксации и систематизации информации, полученной от школьников. При этом важно не критиковать их ответы, даже если они неточны или неправильны. На данном этапе важным является правило: «Любое мнение учащегося ценно».

Этот этап можно по-другому назвать смысловой стадией. Чаще всего знакомство с новой информацией происходит в процессе её изложения учителем, гораздо реже — в процессе чтения или просмотра материалов на видео или через компьютер. В процессе реализации смысловой стадии школьники вступают в контакт с новой информацией. Одним из условий развития критического мышления является отслеживание понимания учеником изучаемого материала. Именно данная задача является основной в процессе обучения на стадии осмысления содержания.

Важным моментом является получение новой информации по теме. Если помнить о том, что на стадии вызова учащиеся определили направления своего познания, то учитель в процессе объяснения нового материала имеет возможность расставить акценты в соответствии с ожиданиями и заданными вопросами. Организация работы на данном этапе может быть различной. Это могут быть: лекция, рассказ учителя, индивидуальное, парное или групповое чтение или просмотр видеоматериала. В любом случае это будет индивидуальное принятие и отслеживание информации. В процессе реализации смысловой стадии главная задача состоит в том, чтобы поддерживать активность учащихся, их интерес и инерцию движения, созданную во время фазы вызова. И здесь важное значение имеет качество отобранного материала.

Нельзя не обратить внимания на ещё одно важное обстоятельство. Так же как и на первой стадии работы в режиме технологии развития критического мышления, на смысловой стадии учащиеся самостоятельно продолжают активно конструировать цели своего учения. Постановка целей в процессе знакомства с новой информацией осуществляется при её наложении на уже имеющиеся знания. Школьники могут найти ответы на ранее заданные вопросы, решить возникшие на начальном этапе работы затруднения. Вместе с тем далеко не все вопросы и затруднения могут быть разрешены. В этом случае важно, чтобы учитель стимулировал учащихся к постановке новых вопросов, поиску ответов через контекст той информации, с которой школьники работают.

Итак, на фазе осмысления содержания учащиеся:

• 1) осуществляют контакт с новой информацией;
• 2) пытаются сопоставить эту информацию с уже имеющимися знаниями и опытом;
• 3) акцентируют своё внимание на поиске ответов на возникшие ранее вопросы и затруднения;
• 4) обращают внимание на неясности, пытаясь поставить новые вопросы.
• 5) стремятся отследить сам процесс знакомства с новой информацией, обратить внимание на то, что именно привлекает их внимание, какие аспекты менее интересны и почему;
• 6) готовятся к анализу и обсуждению услышанного или прочитанного. Учитель на данном этапе:
  • • может быть непосредственным источником новой информации. В этом случае его задача состоит в её ясном и привлекательном изложении;
  • • отслеживает степень активности работы, внимательности при чтении
  • • предлагает различные приёмы для вдумчивого чтения и размышления о прочитанном.

Авторы педагогической технологии развития критического мышления отмечают, что необходимо выделить достаточное время для реализации смысловой стадии. Если учащиеся работают с текстом, было бы целесообразно выделить время для второго прочтения. Это достаточно важно, так как для того, чтобы прояснить некоторые вопросы, необходимо увидеть текстовую информацию в различном контексте.

Р. Бустром отмечает: «Рефлексия — особый вид мышления… Рефлексивное мышление означает фокусирование вашего внимания. Оно означает тщательное взвешивание, оценку и выбор» [6]. В процессе рефлексии та информация, которая была новой, становится присвоенной, превращается в собственное знание. Анализируя функции двух первых стадий технологии развития критического мышления, можно сделать вывод о том, что, по сути, рефлексивный анализ и оценка пронизывают все этапы работы. Вместе с тем рефлексия на стадиях вызова и осмысления содержания имеет другие формы и функции. На третьей же стадии процесса рефлексия становится основной целью деятельности и школьников, и учителя.

Напомним, что работа на стадии осмысления содержания индивидуальна. Школьники знакомятся с новым материалом. При этом у каждого из них это происходит в соответствии с поставленными целями, возникшими на первом этапе вопросами и затруднениями. Рефлексивный анализ направлен на прояснение смысла нового материала, построение дальнейшего маршрута обучения (это понятно, это непонятно, об этом необходимо узнать ещё, по этому поводу лучше было бы задать вопрос и т. д.). Но этот анализ малополезен, если он не обращён в словесную или письменную форму.

Именно в процессе вербализации хаос мыслей, возникающий в сознании на стадии осмысления, структурируется, превращаясь в новое знание. Возникшие вопросы или сомнения могут быть разрешены.

Кроме того, в процессе обмена мнениями по поводу прочитанного или услышанного учащиеся имеют возможность осознать, что один и тот же текст может вызывать оценки, отличающиеся по форме и по содержанию. Некоторые из суждений других учеников могут оказаться вполне приемлемыми для принятия их как своих собственных. Другие суждения вызывают потребность в дискуссии. В любом случае этап рефлексии активно способствует развитию навыков критического мышления.

Каковы же механизмы реализации стадии рефлексии при работе в режиме технологии развития критического мышления? Не вызывает никаких сомнений важность отслеживания развития знаний учащихся. Механизм этого развития можно представить следующим образом:

• 1) Актуализация имеющихся знаний, выявление затруднений, формулировка вопросов.
• 2) Знакомство с новой информацией, поиск ответов на поставленные вопросы, выявление противоречий, корректировка целей.
• 3) Суммирование и систематизация новой информации, формулировка новых вопросов и постановка новый целей учебной деятельности.

Итак, на стадии рефлексии школьники систематизируют новую информацию по отношению к уже имеющимся у них представлениям, а также в соответствии с категориями знания (понятия различного ранга, законы и закономерности, значимые факты). При этом сочетание индивидуальной и групповой работы на данном этапе является наиболее целесообразным. В процессе индивидуальной работы (различные виды письма: эссе, ключевые слова, графическая организация материала и т. д.) учащиеся, с одной стороны, производят отбор информации, наиболее значимой для понимания сути изучаемой темы, а также для реализации поставленных ранее индивидуально целей. С другой стороны, они выражают новые идеи и информацию собственными словами, самостоятельно выстраивают причинно-следственные связи.

Как отмечают Пирсон и Филдинг, «это необходимо для того, чтобы выстроить новые представления» (Пирсон П., Филдинг JI., 1991). Учащиеся помнят лучше всего то, что они поняли в собственном контексте, выражая это своими собственными словами. Такое понимание носит долгосрочный характер. Когда учащийся переформулирует понимание с использованием собственного словаря, то создаётся личный осмысленный контекст.

Наряду с письменными формами, не менее важной является устная рефлексия. Дж. Стил и её коллеги — авторы педагогической технологии критического мышления — отмечают, что живой обмен идеями между учащимися даёт возможность расширить их словарь, познакомиться с различными представлениями по рассматриваемым проблемам. «Разрешая диалог на стадии рефлексии, учитель даёт возможность увидеть и рассмотреть различные варианты мнений по одному и тому же вопросу. Это время переосмысления и перемен в учебном процессе» [25, с. 35].

Важна роль стадии рефлексии и для отслеживания самого процесса обучения, процесса мышления и деятельности. К. Роджерс писал: «Способ обучаться состоит в том, чтобы обозначать свои сомнения, попытаться прояснить неясные вопросы и таким образом приблизиться к смыслу нового опыта…» [13, с. 156].

Эта мысль помогает нам понять суть рефлексивного обучения. Отслеживание этапов, механизма своей деятельности помогает учащемуся осознать методологию учебного и научного познания. Дж. Стил и её коллеги подчёркивают, что преподавание является более эффективным тогда, когда оно «прозрачно», т. е. когда учащиеся видят, как разворачивается учебный процесс.

Психолого-педагогические особенности учащихся основной школы.

Процесс обучения должен соответствовать основной концепции Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования, заключающейся в том, что в том, что в его основе лежит системно-деятельностный подход, который обеспечивает:

• · формирование готовности к саморазвитию и непрерывному образованию.
• · проектирование и конструирование социальной среды развития обучающихся в системе образования.
• · активную учебно-познавательную деятельность обучающихся.
• · построение образовательного процесса с учётом индивидуальных возрастных, психологических и физиологических особенностей обучающихся. [35].

В процессе обучения необходимо учитывать психологические особенности учащихся разных возрастов и основные педагогические теории, в частности теории обучения и воспитания. Обучение геометрии начинается с 7 класса основной школы, когда учащиеся находятся в подростковом возрасте.

Согласно возрастной периодизации, основанной на психическом развитии личности и разработанной Д. В. Элькониным, который вслед за Л. С. Выготским занимался вопросом возрастной периодизации, подростковый возраст приходится на промежуток с 11 до 15 лет. [37].

В этот период происходит половое созревание подростка, что влечет за собой существенные изменения в его эмоциональной сфере и в восприятии себя самого. Значительные сдвиги происходят и в психическом развитии.

Старший школьный возраст характеризуется продолжающимся развитием общих и специальных способностей детей на базе основных ведущих видов деятельности: учения, общения и труда. В учении формируются общие интеллектуальные способности.

Обратимся теперь к исследованиям математических способностей, проведенных В. А. Крутецким. В его известной книге «Психология математических способностей школьников» [19] способности к изучению математики определяются следующим образом: «индивидуально психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обусловливающие при прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности, относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики». При этом выделяются следующие возрастные особенности развития математических способностей:

• 1) Формализованное восприятие математического материала.
• 2) Обобщение математического материала.
• 3) Свернутость математического мышления — тенденция мыслить в процессе математической деятельности сокращенными структурами.
• 4) Гибкость мыслительного процесса.
• 5) Стремление к своеобразной экономии умственных усилий — к изяществу решений.
• 6) Математическая память.

Специально проведенные исследования показали, что все перечисленные компоненты начинают развиваться неодновременно. Причем многие, а именно 3—6, формируются только в старших классах школы, что еще раз подчеркивает недопустимость ранней специализации учащихся.

Согласно Ж. Пиаже подросток переходит на последнюю ступень интеллектуального развития — на стадию формальных операций, которая характеризуется способностью логически мыслить и проводить прямые и обратные рассуждения. [26].

Это обусловлено активным формированием словесно-логического мышления. У подростка появляется способность к оперированию абстрактными понятиями и выражению своих идей при помощи осмысленных логических словесных конструкций, способность выдвигать гипотезы, ставить перед собой цели и планировать пути их достижения, с дальнейшим анализом своих действий.

Ещё одной отличительной особенностью мышления подростка является развитие гибкости мышления, заключающееся в способности находить различные пути решения одной проблемы и обосновывать свой выбор одного из них. Кроме того, гибкость мышления развивается и благодаря появлению символьного языка алгебры и геометрии, позволяющего использовать в записях не только цифры, но и более сложные конструкции.

Для определения гибкости мышления в процессе обучения Н. А. Менчинская выделяет такие показатели:

• · подход к задаче, как к проблеме,
• · целесообразное варьирование способов действий,
• · легкость перестройки знаний и навыков и их систем в соответствии с измененными условиями,
• · способность к переключению или легкость перехода от одного действия к другому. [31]

Но не стоит забывать, что не все подростки одного возраста находятся на одной и той же стадии развития мышления. Как допускал Пиэже, переход на стадию формальных операций может произойти только в возрасте 15 лет, а возможно, и позднее. Это является одной из причин, почему в процессе обучения важно учитывать индивидуальные особенности развития каждого учащегося.

В подростковом возрасте продолжается развитие восприятия, памяти и воображения, которое тесно связано с развитием мышления. Так процесс запоминания у подростков сводится к процессу мышления, когда для того, чтобы запомнить информацию необходимо выявить логические связи и отношения между запоминаемыми фактами, а чтобы потом вспомнить материал нужно восстановиться в памяти логическую цепочку. Описанный процесс является логической памятью. Стоит отметить, что в подростковом возрасте происходит общая перестройка памяти, которая связана с активным развитием этого вида памяти, наряду с использованием произвольной и опосредствованной памяти. Но у этих, в целом положительных изменений, есть и отрицательный последствия, выражающиеся в том, что при более частом использовании именно логической памяти замедляется процесс развития механической памяти, в связи с чем становится более затруднительным её использование. Это может приводить к тому, что в процессе учебы учащиеся начинают хуже справляться с запоминанием больших объёмов информации. [26].

Внимание подростков приобретает произвольный характер, а связь воображения с теоретическим мышлением позволяет раскрыть творческий потенциал и влечет за собой потребность в творческой реализации в соответствии с индивидуальными предпочтениями. Также стоит учитывать, что в процессе учебной деятельности развивается и внимание, в частности такие его свойства, как отражение целостности объекта и предметность. Например, на уроках геометрии школьники учатся воспринимать и оценивать формы объектов: объемные фигуры; пространство и т. п. Причем в процессе восприятия участвуют все органы чувств, однако 90% всей информации о пространственных характеристиках объектов приходится на зрение. На уроках геометрии мы можем выявить и продемонстрировать основные особенности восприятия, такие как целостность; избирательность. [31].

Изучение геометрии может оказать благоприятное воздействие на воспитание, прежде всего, таких свойств внимания, как сосредоточенность, устойчивость, объем, распределение, переключение (переключаемость).

В подростковый период происходит формирование учебной мотивации, которая влечет за собой развитие навыков рефлексии, побуждает подростков к самообразованию и саморазвитию. Но наряду с этим, в связи с изменением восприятия подростком самого себя и окружающего мира в целом, уровень учебной мотивации в общем случае снижается, поскольку получение знаний ещё не входит в их систему ценностей. Поэтому особенно важно учителю, работающему с подростками, обращать внимание на вопрос их учебной мотивации и использовать приемы для её повышения. [30].

Основы учебной мотивации закладывается ещё в начале подросткового периода в возрасте 11 — 12 лет, когда наблюдается существенное возрастание в познавательной активности и любознательности школьников. Хотя эти качества и носят внеучебный характер, при особом подходе к организации уроков их можно направить и на учебную деятельность. Активность в математической деятельности означает обучение не готовым знаниям, а стремление, по возможности, к открытиям математических истин (которые, несомненно, уже открыты и хорошо известны в науке).

В первой главы были рассмотрены понятие и функции задач в обучении математике. Отдельное внимание было уделено различным подходам к определению сложности и трудности учебных задач, существующим исследованиям по определению сложности и трудности геометрических задач.

Были освещены теоретические основы развития критического мышления: история возникновения понятия, его определения в среде психологов и педагогов, методические разработки по развитию критического мышления, в частности, технологии развития критического мышления через чтение и письмо. Рассмотрены три основных этапа (вызов — осмысление — рефлексия) этой технологии, цели и задачи каждого этапа.

Отдельно было уделено внимание возрастным особенностям учащихся основной школы.

После анализа подходов к определению сложности задачи, было решено в дальнейшем в работе использовать следующее определение:

Сложность характеризуется следующими характеристиками: числом условий задачи (числом конкретных данных), числом существующих взаимосвязей между данными, между данными и искомым, числом опосредованных действий, необходимых для достижения искомого, числом преобразований, приводящих к искомому.