Уравнения с разделяющимися переменными

Эти уравнения самые простые. При решении какого-либо уравнения его стараются свести к уравнению с разделяющимися переменными.

А. Уравнение с разделенными переменными Уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида:

(1).

Переменные разделены, каждая из них находится только в той части равенства, где ее дифференциал. и — заданные функции.

Теорема. Общим интегралом уравнения (1) служит соотношение.

. (2).

Пример. Найти общий интеграл уравнения.

.

Решение.

или — общий интеграл.

. (4).

Решение.

.

В. Уравнения с разделяющимися переменными Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

(5).

В этом уравнении легко разделить переменные. Для этого поделим уравнение на произведение. Тогда получим:

. (6).

Это уравнение с разделенными переменными. При переходе от уравнения (5) к уравнению (6) мы могли потерять некоторые решения, которые обращают в нуль произведение, именно.

или. (7).

Уравнение (7) есть конечное (без производных) уравнение относительно. Его решением служат, … и т. д. Заметим, что константы служат решениями уравнения (5), т.к. и .

Общим интегралом (5) будет.

. (8).

Если решения получаются из (8) при подходящем выборе С, то такие решения суть частные, если же подобрать нужное С невозможно, то они особые решения.

Следовательно, если у уравнения (5) есть особые решения, то соответствующие им графики, т. е. интегральные кривые — это прямые параллельные оси ОХ.

Частным решением уравнения (5), удовлетворяющим начальному условию будет функция, определенная уравнением:

. (9).

Пример. Для уравнения.

найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее условию.

.

Решение.

а) Общий интеграл. Делим на.

. .

Отсюда.

или — общий интеграл.

б) Частное решение.

Частное решение: .

с) Особое решение.

Возможна потеря решений. Оба эти решения особые.