Связь между нулём и полюсом

Пусть функция f (z) имеет в точке а нуль порядка т. Как известно (гл. V, § 2, п. 7), в некоторой окрестности такой точки а функция f (z) может быть представлена в виде степенного ряда:

где с_т фО, или

при этом функция есть голоморфная в точке а и не равная нулю. Обратная величина представляется вследствие (17) следующим образом:

причём функция (z) = -ф будет голоморфной в точке а и отличной от нуля. Заметив, что имеем:

получаем из (18) в окрестности точки а, гфа:

откуда следует, что точка а является полюсом т-го порядка для функции дз.

Обратно, предполагая точку d полюсом порядка т для функции /(г), мы имели бы в окрестности такой точки (гфа):

где функция <�р (z) стремится к пределу, отличному от нуля, когда точка z стремится к точке а (п. 3) и, следовательно, может быть рассматриваема как функция, голоморфная в точке а и не равная нулю [полагая <�р (а) равной указанному пределу (и. 2)]. Составив с помощью равенства (19) выражение.

и произведя те же вычисления, что выше, найдём:

где ф (а)фО, откуда следует, что точка, а является нулём порядка т для функции —^у, если положимд^ = 0.

Итак, резюмируя изложенное, мы приходим к выводу: если точка, а есть нуль порядка т для функции / (z) (или полюс порядка т),

то им же точка для функции —^^будет-полюсом порядкат (соответственно нулём порядка т при условии =

Из изложенного следует, что функция / (z) имеет точку а существенноособой точкой одновременно с функцией .

j ^г)

Пример. Рациональная функция, нзобр жаемая несократимой дробью.

имеет полюсами нули знаменателя, причем порядок каждого полюса равен порядку соответствующего нуля.