Примеры. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

Примеры однозначных функций.

Показательная функция е^х и тригонометрические функции sin* и cos* при действительном * разлагаются в ряды:

Заменяя в этих рядах формально.* через комплексное перемен ное z, мы получим степенные ряды:

сходящиеся во всей плоскости (гл. II, § 3, п. 5). Эти ряды изображают функции, голоморфные во всякой точке z-плоскости. Так как функции f_x(z), f₂(z) и f₃(z) при z = x совпадают соответственно с sin* и cos*, то они являются аналитическими продолжениями последних функций в комплексную область. Поэтому f_x (z) называется показательной функцией и обозначается через fo (z) и /₃(z) обозначаются через sinz, cosz. Таким образом, чисто формальное определение функций е*, sin z, cosz становится совершенно естественним: оно будет единственно возможным, если мы требуем дифференцируемость их в плоскости комплексного переменного.

Примеры многозначных функций.

Изложенный в § 1, п. 2 метод аналитического продолжения Вейерштрасса, основанный на пользовании степенными рядами, является общим, и в этом его громадное теоретическое значение. Однако, в большинстве конкретных случаев к той же цели мы можем притти гораздо проще с помощью других аналитических аппаратов.

Так, в гл. IV, § 2, п. 6 мы определили In г с помощью интеграла, 2.

положив: z= и видели, что эта функция является голоморф- 1.

ной во всякой ограниченной односвязной области, не содержащей нулевой точки. Так как при положительном х натуральный логарифм.

х

Jdb

• ?J, то мы видим, что InZ
• 1

есть аналитическое продолжение пх в комплексную область. Как мы знаем, функция In z бесконечнозначная, причём все её значения получаются из одного путём прибавления к нему числа, кратного 2тм Каждое из этих значений образует однозначную голоморфную функ* шло во всякой ограниченной односвязной области, не содержащей нулевой точки, называемую ветвью многозначной функции. Так, например, в окрестности точки z = — одна из этих ветвей разлагается в степенной ряд:

с радиусом сходимости, равным единице. Можно было бы, отправляясь от этого степенного ряда как элемента, определяющего функцию, получить все свойства логарифмической функции, применяя общий метод § 1, п. 2; однако, такой путь практически был бы более сложным.

В качестве второго примера рассмотрим функцию f (z)=J/z. Эта функция является продолжением в комплексную область положительной действительной функции действительного переменного х (х^> 0):

._ — In г

ух. В самом деле, f{z) = e ^п есть функция, голоморфная в каждой точке z_y отличной от нулевой точки, многозначная в окрестности 2 = 0. Выбирая произвольную односвязную область О, не содержащую нулевой точки, например, всю плоскость, за исключением действительной отрицательной оси (лг^О), мы знаем, что каждая ветвь Inz будет в этой области однозначной функцией. В частности, взяв ту ветвь In Zy — обозначим её через Lnz, — которая при z = -1−1 имеет значение нуль, а следовательно, для всех х, *^>0, равна действительному значению In лг, мы получаем функцию, голоморфную в области G:

которая является аналитическим продолжением функции ^пу х_у так как — и* — _п

имеем /₀ (дг) = е ^п => х ^п = у/ х.

Поэтому функцию f (z) мы обозначаем через У z, причём /₀ (z) будет одной из её ветвей. Согласно этому определению функция У z является я-значной. В самом деле, все значения In z содержатся в формуле:

так что имеем:

Множитель, стоящий перед /₀ (z) в формуле (9), имеет только п различных значений, так как для двух значений k, отличающихся на кратное я, он имеет одно и то же значение. Поэтому п ветвей функции У z получаются из основной ветви /₀ (z) путём умножения на постоянные множители. Чтобы получить все п ветвей функции f (z) = y z, достаточно дать k значения: 0, 1, 2,…, п — 1. Таким образом, из формулы (9) находим:

Итак, мы видим, что положительная действительная функция У х (*?>0) продолжаема в комплексную область, причём получаемая функция У z является л-значной.

Во всякой ограниченной одноевюной области, не содержащей нулевой точки, каждая ветвь У z является голоморфной функцией. Наконец, в силу определения ^пУ z, очевидно, имеем:

Замечание. Можно определить функцию z*n при любом постоянном т, полагая: zm — e^m In z. Читателю рекомендуется, поступая аналогично предыдущему, исследовать свойства этой функции.