Прямое произведение множеств

Рассмотрим еще одну операцию над множествами.

Прямым (или декартовым') произведением множеств A_t, А₂, …, А" называется множество.

всех упорядоченных я-ок, /'-я координата которых лежит в множестве А,.

В частности, можно образовать прямое произведение двух множеств АхВ = {(я, Ь) | at A a be В).

Пример 7.4.1. Если Л = {а, б, в} и В = {1, 2}, то АхВ= {(а, 1), (а, 2), (6,1), (6,2), (в, 1), (в, 2)},.

ВхА = {(1, а), (1,6), (1,в), (2,а), (2,6), (2,в)},.

АхА = {(а, а), (а, б), (а, в), (б, а), (б, б), (б, в), (в, а), (в, б), (в, в)}.^[1]

BxBxA = {( 1,1,a), (1,1,6), (1,1,в), (1,2,a), (1,2,6), (1,2,в), (2,1, a), (2,1,6), (2,1,в), (2,2,a), (2,2,6), (2,2,в)}.

Прямое произведение АхА обозначают А² и называют декартовым квадратом. В общем случае прямое произведение п множеств, равных А, обозначают А" и называют п-й степенью множества А.

Пример 7.4.2. Запишем прямое произведение числовых промежутков:

Графически это множество изображается в виде прямоугольника на координатной плоскости, ограниченного прямыми х=, х=3 и у=-1, у=2, причем верхняя сторона прямоугольника не входит в данное множество. Изобразим множества [1; 3]х[— 1; 2) и [-1; 2) х[1; 3]:

Множество всех пар действительных чисел R² тогда можно отождествить с координатной плоскостью, a R' - с трехмерным координатным пространством.

[0; I]² есть единичный квадрат в множестве R², а [0; I] - единичный куб в пространстве R. Изобразите графически эти множества. •.

Упражнение. Изобразите на координатной плоскости прямые произведения множеств АхВ и АхА, если а) А = [ 1; 3], В- {2,3},.

б) Л = [l;3]u[4; 6],? = R.

Заметим, что далеко нс любая фигура на плоскости является прямым произведением некоторых множеств.

Пример 7.4.3. Докажем, что множество 5= {(*,>>) |х²+у*<} не является прямым произведением никаких множеств.

На плоскости множество S определяет окружность с центром в точке (0;0) радиуса 1.

Предположим противное. Пусть найдутся множества А и В, такие, что АхВ = S. Возьмем точку (1;0), которая лежит на окружности, то есть принадлежит S. Тогда (1;0)еЛх/?, поэтому 1 еА, 0еВ. Затем возьмем точку (0;1), которая снова лежит в S, значит, лежит в АхВ. Поэтому 0еА, 1 еВ.

Прямому произведению АхВ принадлежат все пары, первая координата которых лежит в А, а вторая — в В. Так как числа 0, 1 лежат и в А, и в В, то в S = AxB лежат точки (0;0), (0; 1), (1;0), (1;1). Первые три точки действительно лежат в S, а точка (1; 1) множеству S не принадлежит. Противоречие. •.

Пусть имеется предложение, зависящее от переменных jci, *2, •••"*#!, которые принимают значения из множеств Aj, А₂, …, А" соответственно. Напомним, что такое предложение обозначают /^,(х|Л,-л) и называют «-местным предикатом. Однако этот предикат можно обозначать Р (х), договорившись, что переменная х принимает значения из множества М, являющегося прямым произведением AixA2X…xA».

• [1] По имени французского ученого Рснс Декарта (1596−1650).