Математическая модель деформирования подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала

При деформировании срединной поверхности оболочки все точки получат перемещения. Связь деформаций через перемещения — геометрические соотношения теории оболочек — в срединной поверхности принимают вид [1].

Кроме того, если учитываются поперечные сдвиги (модель Тимошенко — Рейснера), то.

Здесь — функция, характеризующая распределение напряжений по толщине оболочки; A, B — параметры Ляме.

Деформации в точках, расположенных на расстоянии z от координатной поверхности, выражаются соотношениями.

где функции изменения кривизн и кручения принимают вид.

Физические соотношения (связь напряжений и деформаций) для упругого изотропного материала оболочки на основе закона Гука будут иметь вид.

Физические соотношения на основе деформационной теории пластичности имеют вид [2][3].

где Ec-секущий модуль упругости.

Физические соотношения при учете ползучести материала на основе линейной теории наследственной ползучести принимают вид [4].

Здесь — функции влияния (ядра релаксации) материала при растяжении и сдвиге.

Если ребра вводятся по методу конструктивной анизотропии (при этом ребра должны быть часто расположены), то функционал полной энергии деформации оболочки, независимо от проявляемых свойств материала можно записать в виде.

(1).

Здесь компоненты внешней нагрузки вдоль осей .

Если решается линейно-упругая задача, то усилия и моменты имеют вид [5].

Здесь.

Приведенные жесткостные характеристики ребер с учетом сдвиговой и крутильной жесткости имеют вид.

;

;

;

;

;

.

При решении нелинейно-упругих задач обычно секущий модуль упругости, исходя из зависимости «», аппроксимируется некоторым аналитическим выражением.

Аппроксимация секущего модуля в виде.

.

когда.

.

справедлива при малой нелинейности кривой «», полученной экспериментально для конкретного материала при одноосном растяжении.

При решении задач устойчивости подкрепленных оболочек вращения наиболее точная аппроксимация кривой «» может быть получена, если кривая «» (при сложном напряженном состоянии — это «») задана характерными точками и по численному заданию графика «» при полученном значении (найденном на предыдущей итерации, так как при решении физически-нелинейных задач удобно применять метод упругих решений А.А. Ильюшина) находится и за секущий модуль в точке с координатами берется.

Заметим, что при изменении меняется и, найденное из графической зависимости «» .

Таким образом, при вычислении интегралов по в функционале (1) необходимо при каждом значении и вычислять интеграл по переменной .

Если решается нелинейно-упругая задача, то усилия и моменты можно представить в виде.

Здесь.

где.

k=1, 2, 3.

Если решается задача ползучести, то.

Например, для оргстекла.

Для старого бетона.

где и тогда.

деформирование физический изотропный гук.

• 1. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. — Л.: Судпромиздат, 1962. — 431с.
• 2. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. — М.: Наука, 1972. — 432 с.
• 3. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. — 420 с.
• 4. Ржаницын А. Р. Строительная механика. — М.: Высшая школа. 1982. — 400 с.
• 5. Карпов В. В. Математическое моделирование, алгоритмы исследования модели, вычислительный эксперимент в теории оболочек. -СПб.: СПбГАСУ, 2006. — 330 с.