Интегральные соотношения линейной вязкоупругости при одноосном напряженном состоянии

Физические соотношения вязкоупругости материалов можно представить в форме интегральных уравнений Больцмана — Вольтерра.

Будем предполагать, что при заданных температуре и уровнях напряжений кривые ползучести при одноосном растяжении подобны (зависимость деформаций ползучести от времени при различных уровнях напряжений описывается единой функцией), а в материале не образуются дефекты. При сделанных предположениях оказываются справедливыми принципы сложения деформаций и напряжений.

Пусть в момент времени % < t к стержню было приложено напряжение а (?,), которое за время действия вызвало деформацию е (^) (рис. 5.14).

Рис. 5.14.

Если напряжение снять, то деформация при t > + Д? будет убывать.

(рис. 5.14, б). К этому моменту времени она будет пропорциональна величине действовавшего напряжения о (%), продолжительности его действия Ах и некоторой убывающей функции аргумента (t — ?):

Кроме того, если в момент времени t на стержень действует напряжение а (?)> то оно приводит к возникновению деформации.

где Е — мгновенный модуль упругости.

Итак, в момент времени t полная деформация будет.

Если в течение времени 0 <? < t нагружение производилось непрерывно, то деформация к моменту t определяется как мгновенная, вызванная действующим напряжением a(t) и суммой деформаций за счет действия напряжений в предшествовавшие моменты времени, т. е.

Как видно, это уравнение «наследует» действие напряжений в предшествующие моменты времени и поэтому называется наследственным.

Таким образом, на основании принципа суммирования деформаций получается то же интегральное уравнение, что и при рассмотрении механических моделей. Разница состоит лишь в том, что здесь ядро интегрального уравнения необязательно является экспонентой или суммой экспонент. То обстоятельство, что ядро П₀ зависит от разности аргументов, т. е. от (t — ?), говорит о том, что это уравнение инвариантно относительно изменения начала отсчета времени и что свойства материала в течение промежутка времени (t — ?) остаются неизменными.

Уравнение (5.1) описывает процесс изменения деформации во времени при заданном законе нагружения. Если напряжение постоянно (а = а₀ = = const), то оно описывает простую ползучесть:

где R₍₎ — ядро релаксации.

Поэтому ядро интегрального уравнении (5.1) называют ядром ползучести. Решая это интегральное уравнение относительно напряжения, получим.

Это уравнение описывает процесс изменения напряжения при заданном законе деформирования. В частности, при постоянной деформации оно описывает процесс простой релаксации напряжения, отсюда и название ядра этого уравнения.

Выясним физический смысл ядер ползучести и релаксации.

Продифференцировав по времени выражения (5.1) и (5.2) и учтя, что е (0 = 8₀ + е_п(?), получим.

Следовательно, ядро ползучести определяется скоростью деформации ползучести при постоянном напряжении, а ядро релаксации — скоростью релаксации напряжения при постоянной деформации.

Ядро /?₀ является резольвентой ядра П₀, и между ними существует известное из теории интегральных уравнений соотношение.

Это соотношение используется для определения одного из ядер, если второе известно. В том случае, когда в процессе обработки экспериментальных данных, но ползучести и релаксации независимо определены оба ядра, приведенное соотношение играет роль контрольного.

В зависимости от характера задачи и требуемой точности решения ядра интегральных уравнений представляют функциями различного вида.

Так, например, если решается задача вязкоупругости для больших интервалов времени и точное знание деформаций в моменты времени, близкие к началу нагружения, необязательно, то ядра представляют в виде экспоненты или ряда экспонент. В этом случае интегральные уравнения (5.1), (5.2) сводятся к дифференциальным.

Эксперименты показывают, что при t = 0 скорости ползучести и релаксации близки к бесконечности, чего не отражают экспоненциальные ядра. Поэтому если с помощью наследственных уравнений необходимо описать деформированное состояние при значениях времени, близких к моменту нагружения, то указанный характер скорости деформации ползучести учитывают выбором ядер со слабой особенностью: