Понятие о случайном потоке событий. 
Простейший поток

Одним из важных понятий теории случайных процессов является понятие потока событий.

Определение 6.26. Потоком событий называется последовательность однородных событий, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени.

Таким образом, поток событий представляет собой в общем случае просто последовательность случайных точек на оси времени Ot с разделяющими их случайными интервалами.

Примерами могут служить поток вызовов на АТС, поток автомашин, подъезжающих на заправочную станцию, поток покупателей к кассе в магазине и пр.

Заметим, что термин «событие» в понятии «поток событий» отличен по смыслу от применяемого в теории вероятностей понятия «случайное событие». В частности, не имеет смысла говорить о вероятностях событий, образующих поток, например о вероятности появления автомашины на заправочной станции. Ясно, что рано или поздно автомашина подъедет на заправочную станцию. Но с потоком событий можно связывать различные случайные события, например А = {в течение времени от t_x до t₂ подъедет хотя бы одна автомашина на заправочную станцию}. Вероятности таких событий можно вычислять.

Потоки событий различаются между собой по их внутренней структуре: по законам распределения интервалов между событиями, их взаимной зависимости или независимости и т. д.

С потоком однородных событий можно связать случайный процесс их накопления. Обозначим через ^(t) число событий потока, появившихся в промежутке времени длины t. Наиболее распространенным является простейший поток однородных событий.

Определение 6.27. Поток однородных событий называется простейшим, или пуассоновским потоком, если для него выполняются следующие условия:

• 1) стационарность', для любого промежутка времени t вероятность наступления того или иного числа событий потока в этом промежутке зависит лишь от длины этого промежутка и не зависит от того, где на оси времени он расположен;
• 2) отсутствие последействия', случайные величины =1,2,для

непересекающихся промежутков времени независимы в совокупности;

3) ординарность', вероятность того, что за бесконечно малый промежуток времени At произойдет два или более событий потока, есть величина более высокого порядка малости, чем At.

Пусть P/.(t) = = k) — вероятность того, что за время t наступит ровно k событий потока. Тогда.

Следовательно, ?,(?) представляет собой пуассоновский процесс.

Для каждого t СВ ?(t) имеет распределение Пуассона, следовательно, МШ) = Xt, = Xt. Таким образом, среднее число наступления событий простейшего (пуассоновского) потока на интервале (0; t) равно Xt. Следовательно, X — среднее число событий в единицу времени, т. е. интенсивность простейшего потока.

Найдем распределение вероятностей промежутка времени между двумя последовательными моментами наступления событий потока.

Обозначим через Z промежуток времени между моментами наступления последовательных событий потока, тогда P{Z >t} = Р{за время t не наступило ни одного события потока} = P₀(t) = е~** t > 0. Следовательно, функция распределения Z будет.

Вывод. Промежутки времени между наступлениями последовательных событий простейшего потока имеют показательное распределение с параметром X.

Допустим, что имеется два независимых пуассоновских потока с интенсивностями X_t и Х₂ соответственно. Моменты наступления событий этих двух потоков образуют новый поток, который назовем суперпозицией или объединением первоначальных потоков. Обозначим через P^(t)_y P?²), Pk (t) вероятности наступления k событий за время t соответственно первого, второго и суммарного потоков. Так как события первого и второго потоков наступают независимо, то по формуле полной вероятности

Вывод. Суперпозиция пуассоновских потоков есть пуассоновский поток с интенсивностью, равной сумме интенсивностей первоначальных пуассоновских потоков.