Гетероскедастичность. 
Эконометрика

Как уже отмечалось выше, свойства оценок коэффициентов регрессии непосредственно зависят от свойств случайного члена в уравнении регрессии. Одной из ключевых предпосылок МНК является условие гомоскедастичности — условие постоянства дисперсий возмущений (см. условия 1.5.4 и 2.3.4), которое в общем виде может быть записано как.

т. е. выполнены условия D (e_f) = <�т², / = 1, л.

Невыполнение этого условия называется гетероскедастичностъю (т. е. непостоянством дисперсий отклонений).

При рассмотрении выборочных данных требование постоянства дисперсии случайных отклонений может вызвать определенное недоумение в силу того, что при каждом / -ом наблюдении имеется единственное значение ?_{.

В выборке мы имеем дело с конкретными реализациями зависимой переменной y_i и, соответственно, с определенными возмущениями.

i = 1, л. Но до осуществления выборки эти показатели априори могли принимать произвольные значения на основе некоторых вероятностных распределений. Одним из требований к этим распределениям является равенство дисперсий. Данное условие подразумевает, что, несмотря на то, что при каждом конкретном наблюдении случайное отклонение может быть большим либо маленьким, положительным либо отрицательным, не должно быть некой априорной причины, вызывающей большую ошибку (отклонение) при одних наблюдениях и меньшую — при других.

Однако на практике часто есть основания считать, что вероятностные распределения возмущений е. при различных наблюдениях будут различными. Так, при анализе зависимости расходов на потребление от уровня доходов можно ожидать, что для более обеспеченных людей вариация расходов выше, чем у малообеспеченных. На рис. 3.2.1 приведен пример линейной зависимости потребления С от дохода /: С = а + pi +е [2]. В случае а) дисперсия потребления постоянна и не зависит от уровня дохода, в то время как в случае б) дисперсия потребления увеличивается.

Рис. 3.2.1.

с ростом дохода. При исследовании зависимости прибыли предприятия от размеров основного фонда также естественно ожидать, что для больших предприятий колебания прибыли будут больше, чем для малых. Исследуя размер оплаты труда, разумно считать, что вариация размера оплаты для сотрудников высокого уровня превосходит вариацию сотрудников низких уровней. Заметим, что проблема гетероскедастичности в основном характерна для выборок пространственного типа (см. § 1.2).

В случае гетероскедастичности оценки коэффициентов по-прежнему являются несмещенными, но применение МНК имеет некоторые особенности:

• 1. Оценки МНК не будут эффективными (т. е. они не будут иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками данного параметра).
• 2. Выборочные дисперсии оценок будут смещенными. Смещенность является следствием того, что оценка дисперсии S^._m (2.3.3), используемая при вычислении выборочных дисперсий оценок, больше не является несмещенной.
• 3. Вследствие вышесказанного все выводы, получаемые на основе соответствующих t- и У⁷-статистик, а также интервальные оценки будут ненадежными. Следовательно, статистические выводы, получаемые при стандартных проверках качества оценок, могут быть ошибочными и приводить к неверным заключениям по построенной модели. Вполне вероятно, что стандартные ошибки коэффициентов будут занижены, а, следовательно, / -статистики будут завышены. Это может привести к признанию коэффициентов статистически значимыми, таковыми на самом деле не являющимися.

В ряде случаев на основе изучения характера эмпирических данных появление проблемы гетероскедастичности можно предвидеть и попытаться устранить этот недостаток еще на этапе спецификации. Однако значительно чаще эту проблему приходится решать после построения уравнения регрессии. Следует отметить, что не существует однозначного метода определения гетероскедастичности, хотя и разработано достаточно большое количество тестов и критериев для проверки условия гомоскедастичности.

Наиболее простым и наглядным является графический методу основанный на графическом представлении отклонений. В этом случае по оси абсцисс откладывается объясняющая переменная (либо линейная комбинация объясняющих переменных), а по оси ординат — остатки e_i либо квадраты остатков е?. В случае гомоскедастичности все остатки располо;

Рис. 3.2.2.

жены внутри некоторой полосы, параллельной оси абсцисс — пример графика приведен на рис. 3.2.2.

На графиках, приведенных на рис. 3.2.3, наблюдается некоторая систематическая зависимость между значениями объясняющей переменной и квадратами остатков, в этих случаях можно достаточно уверенно утверждать, что имеется случай гетероскедастичности для рассматриваемых.

Рис. 3.2.3.

данных. Однако во многих случаях гетероскедастичность не столь очевидна визуально. Графический анализ остатков, безусловно, является удобным в случае парной регрессии. В случае множественной регрессии подобный анализ необходимо проводить для каждой объясняющей переменной по отдельности, при большом количестве объясняющих переменных вместо объясняющих переменных по оси абсцисс можно отложить значения y_i и графически анализировать наличие гстсросксдастичности по графику зависимости е, от у.

Для того чтобы определить наличие гетероскедастичности, обычно используют тесты, в которых в качестве нулевой гипотезы рассматривают гипотезу об отсутствии гетероскедастичности.