Консервативная сила. 
Курс общей физики

Пусть сила, действующая на частицу, зависит только от ее положения в пространстве, т. е. является функцией ее радиус-вектора:

Такая функция описывает постоянное силовое поле. Существование в пространстве силового поля означает, что в какой бы точке пространства ни оказалась частица в любой момент времени на нее будет действовать сила, определяемая заданной функцией (4.30). В том случае, когда сила не зависит от координат, т. е. вектор силы принимает одно и то же значение во всех точках некоторой области пространства, силовое поле называется однородным.

Пусть задано некоторое скалярное поле

Вектор, декартовы координаты которого равны соответственно частным производным у?', (ру и <�р'_г от функции <�р по координатам х, у и г, называется градиентом этой функции и обозначается символами.

где V — так называемый оператор «набла»:

Но определению.

Постоянное силовое поле F = F® называется консервативным. если существует скалярная функция.

С учетом определения градиента скалярной функции эту формулу можно записать в виде.

или в координатной форме как.

Дифференциал функции U = U (r) согласно определению (1.32) будет.

Это выражение можно рассматривать как скалярное произведение век торов grad U и dr:

Элементарная работа (4.17), совершаемая консервативной силой (4.33), равна с обратным знаком дифференциалу потенциальной энергии:

Проинтегрируем это соотношение вдоль траектории частицы от точки 1 до точки 2 (рис. 4.3), т. е. найдем сумму элементарных работ, совершенных на различных малых участках траектории:

Так как в рассматриваемом случае потенциальная энергия (4.32) зависит только от координат, сумма бесконечно малых ее приращений будет равна ее полному приращению, которое равняется разности значений этой функции в точках 1 и 2:

где Таким образом, приходим к заключению, что работа, совершаемая консервативной силой, не зависит от пути, по которому движется частица, и определяется только значениями потенциальной энергии в начале и конце пути. Справедливо обратное утверждение. Если работа при перемещении частицы в постоянном силовом поле из точки 1 в точку 2 не зависит от пути (т.е. от формы траектории, по которой частица перемещается из точки 1 в точку 2), то это означает, что на частицу действует консервативная сила. Это утверждение иногда принимают за определение консервативной силы.

Если, перемещаясь по некоторой замкнутой кривой С, частица возвращается в точку, из которой она начала свое движение, то, как следует из формулы (4.37), работа консервативной силы будет равна нулю:

Криволинейный интеграл по замкнутой линии С в левой части этого равенства называется циркумцией вектора F по контуру С.