Математическое ожидание. 
Дисперсия

Многие свойства случайных дискретных величин описываются математическим ожиданием и дисперсией.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на вероятности этих значений:

При неограниченном возрастании числа испытаний среднее арифметическое значений случайной величины стремится к ее математическому ожиданию.

Математическое ожидание — одна из важнейших числовых характеристик случайной величины. Обозначим математическое ожидание через М (Х). Для случайной дискретной величины X, заданной значениями X₁, X₂, …, X_m и соответствующими этим значениям вероятностями р ₁, р ₂,…, р_m имеет М (Х) = X₁P₁ + X₂P₂ + … + X_mP_m.

Часто математическое ожидание называют средним значением случайной величины, так как оно указывает некоторое «среднее число», около которого группируются все значения случайной величины.

Вообще, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

Вероятностный смысл математического ожидания характеризуется приближенным равенством = М (Х), т. е. математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Если произведено m испытаний, в которых случайная величина X приняла m₁ раз значение х ₁ m₂ раз значение х ₂,…, m_k раз значение х_k причем.

m₁ +m₂ +…+m_k = п.

Тогда сумма всех значений, принятых X равна x₁m₁ + х ₂ m₂+…+ x_k m_k.

X = или = x₁ + x₂ + … + x_k

• — есть относительная частота W₁ значения X₁,
• — есть относительная частота W₂ значения X₂,
• — есть относительная частота W_k значения X_k.

Следовательно, = x₁W_t + х_г W₂+..+ x_k W_k.

Допустим, что число испытаний достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероятности появления события W₁~P₁, W₂~P₂,…, W_k~P_k.

Заменив относительные частоты соответствующими вероятностями, получим.

Х= х ₁ р,+ х ₂р ₂+…+ x_k p_k

x₁ p₁+ х ₂ р ₂+…+x_kp_k = М (Х).

Другой важной числовой характеристикой случайной величины X является ее дисперсия. Обозначим дисперсию через D (X).

Дисперсия характеризует степень рассеянности (квадрат отклонения) значений случайной величины относительно математического ожидания М (Х) случайной величины.

Отклонение — это разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

D (X) = М (Х-М (Х))²,

здесь М — обозначение математического ожидания. Пусть случайная величина X принимает значения х ₁, x₂,…, x_m соответственно с вероятностями p₁, р ₂…, p_m: Тогда квадрат отклонения случайной величины X от ее математического ожидания (Х-М (Х))² с вероятностью р есть случайная величина, которая принимает значения (х ₁ -М (Х))², (х ₂-М (Х))²… (х ₂-М (Х))² соответственно с вероятностями p₁, p₂,…, p_m. Поэтому математическое ожидание так распределенной случайной дискретной величины.

D (K)= (х ₁-М (Х))²'р ₁+ (х ₂-М (Х))²'р ₂+…+ (х_m -М (Х))²-р_m.

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания.

D (X) = M (Х ²) — (М (Х))².

.

Функциональная зависимость вероятности рк от хк называется законом распределения вероятностей дискретной случайной величины.

И функция, и случайная дискретная величина могут быть заданы тремя способами:

Табличным (таблица);

Графически (график, гистограмма);

Аналитически (уравнение). p = f (x).

Рисунок 1. Графическое представление закона распределения Значение случайной величины хi, имеющее наибольшую вероятность, называется модой.

Итак, на оси абсцисс представлены ЗНАЧЕНИЯ случайной дискретной величины, расположенные в порядке возрастания; на оси ординат — ВЕРОЯТНОСТЬ, с которой в нашем опыте могут встретиться эти значения. Из данного графика видно, что, к примеру, значение х 2 — самое вероятное, а х 4 — наименее вероятное. случайная ожидание дисперсия распределение Если опыты уже проведены, а значения получены, то уместнее говорить не о ВЕРОЯТНОСТИ появления значений, а о ЧАСТОТЕ (частости) их встречаемости в данном эксперименте. В этом случае на графике следовало бы заменить букву Р на букву f, которой обычно частота и обозначается.