Обратная задача теории погрешностей

На практике важна также обратная задача: каковы должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины.

Эта задача математически неопределенна, так как заданную предельную погрешность Дy функции y = f(xl, х 2, …, хп) можно обеспечить, устанавливая по-разному предельные абсолютные погрешности Дxi ее аргументов.

Простейшее решение обратной задачи дается так называемым принципом равных влияний. Согласно этому принципу предполагается, что все частные дифференциалы (i = 1, 2, …, n) одинаково влияют на образование общей абсолютной погрешности Дy функции y = f(xl, х 2, …, хп).

Пусть величина предельной абсолютной погрешности Дy задана. Тогда на основании формулы (5.3).

.

Предполагая, что все слагаемые равны между собой, будем иметь.

.

Отсюда.

(i = 1, 2, …, n). (1.19).

Пример. Радиус основания цилиндра R 2 м; высота цилиндра H 3 м. С какими абсолютными погрешностями нужно определить R и H, чтобы его объем V можно было вычислить с точностью до 0,1 м 3?

Имеем.

V = рR2H

и ДV = 0,1 м 3.

Полагая R = 2 м; Н = 3 м;р = 3,14; приближенно получим:

Отсюда, так как n = 3, то на основании формулы (7.1) будем иметь:

Нередко при решении обратной задачи по принципу равных влияний мы можем столкнуться с таким случаем, когда найденные по формуле (1.19) предельные абсолютные погрешности отдельных независимых переменных окажутся настолько малыми, что добиться соответствующей точности при измерении этих величин практически невозможно. В таких случаях следует отступить от принципа равных влияний и за счет разумного уменьшения погрешностей одной части переменных добиться увеличения погрешностей другой части переменных.