Критерии согласия (соответствия)

Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения теоретическому закону распределения используются особые статистические показатели — критерии согласия (или критерии соответствия). К ним относятся критерии Пирсона, Колмогорова, Романовского, Ястремского и др. Большинство критериев согласия базируется на использовании отклонений эмпирических частот от теоретических. Очевидно, что чем меньше эти отклонения, тем лучше теоретическое распределение соответствует эмпирическому (или описывает его).

Критерии согласия — это критерии проверки гипотез о соответствии эмпирического распределения теоретическому распределению вероятностей. Такие критерии подразделяются на два класса: общие и специальные. Общие критерии согласия применимы к самой общей формулировке гипотезы, а именно к гипотезе о согласии наблюдаемых результатов с любым априорно предполагаемым распределением вероятностей. Специальные критерии согласия предполагают специальные нулевые гипотезы, формулирующие согласие с определенной формой распределения вероятностей.

Критерии согласия, опираясь на установленный закон распределения, дают возможность установить, когда расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами следует признать несущественными (случайными), а когда — существенными (неслучайными). Из этого следует, что критерии согласия позволяют отвергнуть или подтвердить правильность выдвинутой при выравнивании ряда гипотезы о характере распределения в эмпирическом ряду и дать ответ, можно ли принять для данного эмпирического распределения модель, выраженную некоторым теоретическим законом распределения.

Критерий согласия Пирсона у} (хи-квадрат) — один из основных критериев согласия. Предложен английским математиком Карлом Пирсоном (1857—1936) для оценки случайности (существенности) расхождений между частотами эмпирического и теоретического распределений:

где k — число групп, на которые разбито эмпирическое распределение; J — эмпирическая частота признака в i-й группе; /^тс°р — теоретическая частота признака в i-й группе.

Схема применения критерия у} к оценке согласованности теоретического и эмпирического распределений сводится к следующему.

• 1. Определяется расчетная мера расхождения %?_асч.
• 2. Определяется число степеней свободы.
• 3. По числу степеней свободы v с помощью специальной таблицы определяется х^бл •
• 4. Если Храсч ^>%?абл" ^{т0 П}Р^И заданном уровне значимости, а и числе степеней свободы v гипотезу о несущественности (случайности) расхождений отклоняют. В противном случае гипотезу можно признать не противоречащей полученным экспериментальным данным и с вероятностью (1 — а) можно утверждать, что расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами случайны.

Уровень значимости — это вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, г. е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистических исследованиях в зависимости от важности и ответственности решаемых задач пользуются следующими тремя уровнями значимости:

• 1) а = 0,1, тогда Р = 0,9;
• 2) а = 0,05, тогда Р = 0,95;
• 3) а = 0,01, тогда Р = 0,99.

Используя критерий согласия у}, необходимо соблюдать следующие условия.

• 1. Объем исследуемой совокупности должен удовлетворять условию п > 50, при этом частота или численность группы должна быть не менее 5. Если это условие нарушается, необходимо предварительно объединить небольшие частоты (меньше 5).
• 2. Эмпирическое распределение должно состоять из данных, полученных в результате случайного отбора, т. е. они должны быть независимыми.

Недостатком критерия согласия Пирсона является потеря части первоначальной информации, связанная с необходимостью группировки результатов наблюдений в интервалы и объединения отдельных интервалов с малым числом наблюдений. В связи с этим рекомендуется дополнять проверку соответствия распределений, но критерию у} другими критериями. Особенно это необходимо при объеме выборки п ~ 100.

В статистике критерий согласия Колмогорова (также известный как критерий согласия Колмогорова — Смирнова) используется для того, чтобы определить, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо определить, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели. Критерий Колмогорова основан на определении максимального расхождения между накопленными частотами или частостями эмпирических или теоретических распределений. Критерий Колмогорова исчисляется по следующим формулам:

или.

где D и d — соответственно максимальная разность между накопленными частотами (/-/') и между накопленными частостями (р-р') эмпирического и теоретического рядов распределений; N — число единиц в совокупности.

Рассчитав значение X, по специальной таблице определяется вероятность, с которой можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны. Если признак принимает значения до 0,3, то это означает, что происходит полное совпадение частот. При большом числе наблюдений критерий Колмогорова способен обнаружить любое отступление от гипотезы. Это означает, что любое отличие распределения выборки от теоретического будет с его помощью обнаружено, если наблюдений будет достаточно много. Практическая значимость этого свойства несущественна, так как в большинстве случаев трудно рассчитывать на получение большого числа наблюдений в неизменных условиях, теоретическое представление о законе распределения, которому должна подчиняться выборка, всегда приближенное, а точность статистических проверок нс должна превышать точность выбранной модели.

Критерий согласия Романовского основан на использовании критерия Пирсона, т. е. уже найденных значений х²> и числа степеней свободы:

где v — число степеней свободы вариации.

Критерий Романовского удобен при отсутствии таблиц для х². Если К_? < 3, то расхождения распределений случайны, если же К_р > 3, то неслучайны и теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.

Б. С. Ястремский использовал в критерии согласия нс число степеней свободы, а число групп (k), особую величину 0, зависящую от числа групп, и величину хи-квадрат. Критерий согласия Ястремского имеет тот же смысл, что и критерий Романовского, и выражается формулой.

где х^2 — критерий согласия Пирсона; /е_гр — число групп; 0 — коэффициент, для числа групп меньше 20 равный 0,6.

Если 1ф_акт > 3, расхождения между теоретическими и эмпирическими распределениями неслучайны, т. е. эмпирическое распределение не отвечает требованиям нормального распределения. Если 1ф_акт < 3, расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями считаются случайными.