Особенности распространения тепла при линейной и нелинейной теплопроводностях

Основные черты процесса нелинейной теплопроводности и особенности, отличающие его от процесса линейной теплопроводности, лучше всего выяснить на примере задачи о распространении в неограниченной первоначально холодной среде тепла от мгновенного плоского источника энергии. Пусть в начальный моментв плоскостивыделилась энергиянаповерхности. В последующие моменты тепло растекается в обе стороны от плоскости Уравнение теплопроводности (10.10) для рассматриваемой задачи имеет вид.

причем распределение температуры в пространстве подчиняется условию сохранения энергии.

Распространение тепла при различных теплопроводностях

Величинаравна, если процесс происходит при постоянном давлении, и — если постоянен удельный объем.

В данном случае два уравнения, (10.18) и (10.19), эквивалентны одному уравнению теплопроводности (10.10) с дельтообразным источником (как по времени, так и по координате):

В начальный момент температуру среды считаем тождественно равной нулю, везде, кроме точки, где произошло энерговыделение:

Решение поставленной задачи в случае линейной теплопроводности хорошо известно. Оно дается выражением.

Характерное свойство линейной теплопроводности состоит в том, что тепло сосредоточено в точке энерговыделения только в начальный момент.

(при как).

В последующие моменты времени тепло мгновенно распространяется на все пространство и температура стремится к нулю на бесконечности, при, лишь асимптотически. Основное количество энергии сосредоточено в области с размерами порядка.

которая растет с течением времени пропорционально Соответственно, какпадает и температура, так что полное количество тепла.

Остается постоянным. Распределение температуры в последовательные моменты времени показаны на рис. 10.1.

Асимптотический характер убывания температуры на бесконечности и мгновенность распространения тепла на неограниченное расстояние в рамках теплопроводностной теории связано с конечностью коэффициента теплопроводности при нулевой температуре.

Практически, конечно, на большое расстояние к данному моменту времени проникает лишь ничтожно малое количество тепла; закон спадания температуры на бесконечности крайне резкий, гауссов; однако в принципе на любом, сколь угодно большом, но конечном расстоянии от источника повышение температуры сразу же после момента энерговыделения отлично от нуля. Следует заметить, что гауссов закон спадания температуры на бесконечности связан с приближенным описанием распространения тепла в рамках теплопроводностной теории. В действительности на больших расстояниях температура определяется не диффузией «горячих» молекул из нагретой области (в газе), а прямыми, «прострельными» молекулами, попадающими из нагретой области на большие расстояния, не испытав при этом ни одного соударения. Поэтому на самом деле на бесконечности закон спадания температуры не гауссов (10.20), а только экспоненциальный,, где — длина пробега молекулы.

Ясно, что при любом предъэкспоненциальном множителе на данный момент времени простая экспонента ехр в конце концов станет больше, чем гауссова экспонента ехр. Однако в этой области на больших расстояниях заключается столь ничтожное количество тепла, что рассмотрение ее не представляет никакого интереса. Проверим предположение о возможности пренебречь движением вещества.

Если среда газовая, от места энерговыделения (в данном случае от плоскости х — 0) распространяется волна сжатия (или ударная волна). Скорость ее распространения по невозмущенному веществу порядка.

скорости звука в нагретой области, т. е. порядка тепловой скорости нагретых молекул v. Скорость распространения тепла путем теплопроводности.

т.е. как только тепло распространится на расстояние, большее среднего пробега молекул, скорость теплопроводностная станет меньше скорости гидродинамической. Поскольку вообще нет смысла рассматривать расстояния, меньшие пробега молекул, постольку можно считать, что тепло распространяется всегда с дозвуковой скоростью. Если количество выделившейся энергии невелико, волна сжатия слабая, скорость вещества мала по сравнению со скоростью звука. Можно считать, как это и было отмечено с самого начала, что роль гидродинамики сводится просто к выравниванию давления, и процесс распространения тепла идет при постоянном давлении.

Если же энерговыделение велико и волна сжатия, уйдя на значительное расстояние от места энерговыделения, является ударной, то мы имеем дело с чисто гидродинамическим процессом сильного взрыва, который рассматривался в § 25 гл. I; роль теплопроводности вещества в распространении энергии оказывается несущественной.

Пусть теперь коэффициент теплопроводности зависит от температуры, причем он уменьшается с падением температуры и обращается в нуль при нулевой температуре, как это имеет место при лучистой теплопроводности. В этом случае тепло не может мгновенно проникнуть на сколь угодно большие расстояния, а распространяется от источника с конечной скоростью таким образом, что существует, четкая граница, отделяющая нагретую область от холодной, до которой еще не дошло тепловое возмущение. Тепло распространяется от источника в виде волны, фронтом которой является указанная граничная поверхность. Такую волну называют тепловой. Распределение температуры в тепловой волне в последовательные моменты времени схематически показано на рис. 10.2. В холодной невозмущенной среде температура и поток тепла равны нулю, поскольку обращается в нуль коэффициент теплопроводности. В силу непрерывности поток на фронте волны также обращается в нуль. При линейной теплопроводности, когда, обращение в нуль потока тепла может быть связано только с исчезновением градиента температуры. При нелинейной теплопроводности с коэффициентом, убывающим до нуля при, поток может исчезать и при отличном от нуля градиенте температуры, только за счет обращения в нуль коэффициента теплопроводности. С этим обстоятельством, в частности, и связано возникновение резкого фронта тепловой волны.

Чтобы пояснить сказанное, рассмотрим слой вблизи фронта волны. Если ограничиться небольшими временами, в течение которых волна распространяется на расстояния, малые по сравнению с размером области, охваченной волной, т. е. с координатой фронта (см. рис. 10.2), то в течение такого времени скорость фронта можно приближенно считать постоянной.

Распределение температуры вблизи фронта можно искать в виде стационарной волны, где — скорость фронта. Профиль температуры вблизи фронта квазистационарен в системе координат, связанной с фронтом.

Подставляя в уравнение (10.18) решение в виде, получим для профиля температуры вблизи фронта уравнение.

Полагая и интегрируя дважды это уравнение с граничным условием при, получим профиль температуры:

Он и показан схематически на рис. 10.2.

Координата фронта и скорость фронта в этой формуле представляют собой неопределенные функции времени. Они находятся путем решения полной задачи для всего пространства.

То, что температура обращается в нуль по закону (10.22), подтверждает и справедливость утверждения о существовании резкой границы прогретой области — фронта тепловой волны. Если показатель коэффициент температуропроводностине обращается в нуль при и уравнение (10.21) не имеет решений, обращающихся в нуль на конечном расстоянии, что и соответствует мгновенному характеру распространения тепла на сколь угодно большие расстояния.

Из формулы (10.22) следует, что градиент температуры вблизи фронта тепловой волны Если, градиент температуры на фронте (преображается в бесконечность — фронт крутой. Если ,=0.

Поток же всегда равен нулю при при В § 12 и 17 гл. VII при рассмотрении структуры фронта ударной волны с учетом электронной и лучистой теплопроводностей было показано, как перед скачком уплотнения, который распространяется по газу, вырывается «язык» прогрева за счет теплопроводности.

Профиль температуры перед скачком описывается формулой (10.22) (если движением газа перед скачком можно пренебречь), причем скорость представляет собой скорость движения фронта ударной волны. Профиль имеет вид, показанный на рис. 10.3, а. «Язык» вырывается на вполне определенное, конечное расстояние (рис. 10.3, а), которое зависит от температуры на скачке уплотнения.

В случае линейной теплопроводности, «язык» прогрева простирается до бесконечности, хотя эффективная ширина его конечна и постоянна (при постоянной скорости движения ударной волны). Решение уравнения (10.21) при имеет в этом случае вид.

Профиль температуры в прогревном слое показан на рис. 10.3,Как уже отмечалось, температура обращается в нуль только на бесконечности.

При молекулярной теплопроводности закон спадания температуры на бесконечности за счет «прострельных» молекул отличается от того, который диктуется теплопроводностной теорией, не принимающей во.

внимание движение отдельных молекул. Подобно этому и при переносе тепла излучением профиль тепловой волны вблизи границы имеет вид (10.22) только в рамках приближения лучистой теплопроводности. Если учесть существование «прострельных» квантов, т. е. неравновесность излучения на переднем краю волны, мы придем к экспоненциальному закону спадания температуры на переднем краю тепловой волны:, где — длина пробега излучения. Этот эффект был подробно изучен в разделе 3 гл. VII при рассмотрении структуры фронта ударной волны с учетом переноса излучения. До сих пор мы рассматривали распространение тепла в среде с нулевой начальной температурой. Если, то коэффициент нелинейной теплопроводности в невозмущенном веществе конечен и закон спадания температуры отличен от (10.22); однако практически при небольших начальных температурах коэффициент лучистой теплопроводности при столь мал, что этим эффектом можно пренебречь. Гораздо существеннее отмеченная выше неравновесность излучения на переднем краю тепловой волны, которая приводит к экспоненциальному спаду температуры.

вместо степенного закона (10.22). Отметим еще одно существенное отличие нелинейной теплопроводности от линейной. В линейном случае имеет место принцип суперпозиции. Если имеется совокупность источников энергии, тепло от каждого из них растекается совершенно независимым образом. Решение уравнения теплопроводности при наличии протяженных источников можно представить в виде интеграла «по источникам» от решений, соответствующих сосредоточенным источникам. При нелинейной теплопроводности принцип суперпозиции несправедлив. Распространение тепла от одного источника зависит от температуры, до которой нагреется среда, за счет теплового возмущения, идущего от другого источника. В общем случае протяженных источников решение нельзя представить в виде интеграла по источникам зависит от температуры на скачке уплотнения Т₁

В случае линейной теплопроводности, «язык» прогрева простирается до бесконечности, хотя эффективная ширина его конечна и постоянна (при постоянной скорости движения ударной волны). Решение уравнения (10.21) приимеет в этом случае вид.

Профиль температуры в прогревном слое показан на рис. 10.3, в. Как уже отмечалось, температура обращается в нуль только на бесконечности.

При молекулярной теплопроводности закон спадания температуры на бесконечности за счет «прострельных» молекул отличается от того, который диктуется теплопроводностной теорией, не принимающей во внимание движение отдельных молекул. Подобно этому и при переносе тепла излучением профиль тепловой волны вблизи границы имеет вид (10.22) только в рамках приближения лучистой теплопроводности. Если учесть существование «прострельных» квантов, т. е. неравновесность излучения на переднем краю волны, мы придем к экспоненциальному закону спадания температуры на переднем краю тепловой волны:, где / - длина пробега излучения. Этот эффект был подробно изучен в разделе 3 гл. VII при рассмотрении структуры фронта удар ной волны с учетом переноса излучения. До сих пор мы рассматривали распространение тепла в среде с нулевой начальной температурой. Если, то коэффициент нелинейной теплопроводности в невозмущенном веществе конечен и закон спадания температуры отличен от (10.22); однако практически при небольших начальных температурах коэффициент лучистой теплопроводности при столь мал, что этим эффектом можно пренебречь. Гораздо существеннее отмеченная выше неравновесность излучения на переднем краю тепловой волны, которая приводит к экспоненциальному спаду температуры вместо степенного закона (10.22). Отметим еще одно существенное отличие нелинейной теплопроводности от линейной. В линейном случае имеет место принцип суперпозиции. Если имеется совокупность источников энергии, тепло от каждого из них растекается совершенно независимым образом. Решение уравнения теплопроводности при наличии протяженных источников можно представить в виде интеграла «по источникам» от решений, соответствующих сосредоточенным источникам. При нелинейной теплопроводности принцип суперпозиции несправедлив. Распространение тепла от одного источника зависит от температуры, до которой нагреется среда, за счет теплового возмущения, идущего от другого источника. В общем случае протяженных источников решение нельзя представить в виде интеграла по источникам.