Комплексные числа. 
Математика в экономике

Основные понятия

В курсе школьной математики полагалось, что нельзя извлекать корни четной степени из отрицательных чисел. Расширим понятие числа, введя соответствующее аксиоматическое определение.

Определение 1. Величина /, определяемая условием /² = -I, называется мнимой единицей.

Отсюда сразу следует цепочка равенств:

Определение 2. Число вида.

где а и b — действительные числа, называется комплексным числом. При этом числа аЬ называются соответственно действительной частью и мнимой частью комплексного числа.

Запись вида (6.8) называется алгебраической формой комплексного числа. Для действительной и мнимой частей комплексного числа часто используются обозначения: а = Re (г), Ь = Im (z) — от французских слов гее! (действительный) и imaginaire (мнимый).

Определение 3. Два комплексных числа г, = я, + b_{i и z₂ = о₂ ⁺ V ^назы_ ваются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Определение 4. Комплексное число -z = -а — Ы называется противоположным комплексному числу z = а + Ы.

Определение 5. Комплексное число а — Ы называется сопряженным с комплексным числом z — а + Ы и обозначается z•.

Пример 1. Найти корни квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом

где А, В и С — действительные числа.

Решение. Как мы знаем, формулы для корней квадратного уравнения имеют вид:

Поскольку дискриминант D = В² — 4АС < 0, согласно определению 1 'fD = 'J—D= Поэтому в силу определения 5 формулы для корней уравнения в данном случае являются сопряженными комплексными числами

Комплексные числа вида (6.8) удобно изображать точками на комплексной плоскости (рис. 6.3).

На оси Ох расположены действительные числа, на оси Оу — мнимые числа. Любое комплексное число (6.8) соответствует точке на комплексной плоскости с координатами а и Ь. Верно и обратное: каждой точке комплексной плоскости с координатами (я, Ь) соответствует комплексное число с действительной _{Рис 6 3}

частью а и мнимой частью Ь. При этом каждому комплексному числу zа + Ы может быть поставлен в соответствие двумерный вектор (а, Ь). Длина этого вектора, равная у]а² +/>², называется модулем комплексного числа (6.8) и обозначается символом |*|.