Лекция 5. Модификации метода сопряженных градиентов

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Исследовать основные свойства метода сопряженных градиентов (СГ); построить на этой основе экономичную СГ-схему; показать, что переобусловливание матрицы решаемой системы позволяет повысить эффективность метода; получить вычислительную схему переобусловленного метода сопряженных градиентов.

Основные свойства метода сопряженных градиентов

Сопряженность. Свойство сопряженности означает, что.

.

Это свойство в СГ-алгоритме обеспечивается выбором параметра .

Линейная независимость. Векторы, построенные по СГ-алгоритму, линейно независимы. Покажем это. Предположим обратное. Пусть один из векторов является линейной комбинацией остальных, т. е.

.

Умножим левую и правую части этого равенства слева сначала на A, затем на :

.

На основании свойства сопряженности. Отсюда следует ра-венство, что неверно, т. к. матрица A положительно опре-делена, т. е. для произвольного вектора выполняется неравен-ство. Значит, векторы линейно независимы.

Ортогональность невязки сопряженным градиентам:

.

В этом легко убедиться, если учесть, что.

;

.

Умножим последнее равенство слева на и преобразуем его правую часть, привлекая свойство сопряженности (для):

.

Свойство доказано.

Ортогональность невязок:

.

Учтем, что и, следовательно,.

.

По этой причине.

.

так как.

и для .