Теорема Штурма. 
Способы нахождения корней линейных и квадратичных многочленов

Теорема Штурма. Если действительные числа, а и Ь, a.

Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть оценено при помощи теоремы Штурма.

Ряд Штурма (система Штурма) для вещественного многочлена — последовательность многочленов, позволяющая эффективно определять количество корней многочлена на промежутке и приближённо вычислять их с помощью теоремы Штурма. Ряд и теорема названы именем французского математика Жака Штурма. [2.c, 34].

Рассмотрим многочлен f (x) с вещественными коэффициентами. Конечная упорядоченная последовательность отличных от нуля многочленов с вещественными коэффициентами называется рядом Штурма для многочлена f (x), если выполнены следующие условия: не имеет корней;

если и, то ;

если ,.

то произведение меняет знак с минуса на плюс, когда x, возрастая, проходит через точку c, т. е. когда существует такое д > 0, что:

для и для .

Значением ряда Штурма в точке c называется количество смен знака в последовательности f0©, f1©, …, fs© после исключения нулей.

Теорема Штурма Пусть f (x) — ненулевой многочлен с вещественными коэффициентами, f0(x), f1(x),…, fs (x) — некоторый ряд Штурма для него, [a, b]- промежуток вещественной прямой, причём. Тогда число корней многочлена f (x) на промежутке [a, b] равно W (a)? W (b), где W (c) — значение ряда Штурма в точке c.

Ряд Штурма существует для любого ненулевого вещественного многочлена. Пусть многочлен f (x), отличающийся от константы, не имеет кратных корней. Тогда ряд Штурма для него можно построить, например, следующим образом:

;

;

Если fk (x) (k > 0) имеет корни, то.

.

где — остаток от деления многочлена f (x) на многочлен g (x) в кольце многочленов, иначе s = k.

Для произвольного многочлена, отличающегося от константы, можно положить:

.

и далее следовать приведенному выше способу. Здесь (f (x), f'(x)) — наибольший общий делитель многочленов f (x) и f'(x). Если многочлен f (x) есть ненулевая константа, то его ряд Штурма состоит из единственного многочлена f0(x) = f (x).

Ряд Штурма используется для определения количества вещественных корней многочлена на промежутке. Отсюда вытекает возможность его использования для приближённого вычисления вещественных корней методом двоичного поиска.

Построим указанным выше способом ряд Штурма для многочлена:

f (x) = (x? 1)(x? 3) = x2? 4x + 3.

Таким образом, по теореме Штурма число корней многочлена f (x) равно: 2? 0 = 2 на промежутке ;

• 2? 0 = 2 на промежутке (0,4);
• 2? 1 = 0 на промежутке (0,2).

Применим метод Штурма к многочлену:

Л (*) = *" + 2**-5*3 + 8*2−7* -3.

Мы не будем при этом предварительно проверять, что h (х) не имеет кратных корней, так как метод построения системы Штурма одновременно служит для проверки взаимной простоты многочлена и его производной. [7,c.32].

Найдем систему Штурма для h (x), применяя указанный метод. При этом в процессе деления мы будем, в отличие от алгоритма Евклида, умножать и сокращать лишь на произвольные положительные числа, так как знаки остатков играют в методе Штурма основную роль. Мы получим такую систему:

h (х)=хъ + 2х*-5*3+8*2−7х-3,.

1ц (х) = б*4 + 8*3−15*2 + 16* - 7, /i2(*) = 66*3−150*2 + 172* + 61, h3 (*) = - 464*2 +1135* + 723, Л 4 (*) = - 32 599 457* - 8 486 093,.

Л 6(*) = -1.

Определим знаки многочленов этой системы при * = -оо и *=оо, для чего, как было указано, следует смотреть лишь на знаки старших коэффициентов и на степени этих многочленов. Мы получим такую таблицу:

Таким образом, при переходе * от-оо к со система Штурма теряет три перемены знаков, а поэтому многочлен h (*) имеет ровно три действительных корня. Применим метод Штурма к другому многочлену, более простому. Пусть дан многочлен: f (*) = *3+3*2−1.

Найдем число его действительных корней, а также целые границы, между которыми каждый из этих корней расположен, причем не будем строить заранее графика этого многочлена.

Система Штурма для многочлена I (*) будет:

f (*) = *® + 3*2−1.

(*) = 3*2 + 6*, /а (*) = 2* + 1,.

Ы*) = 1.

Найдем число перемен знаков в этой системе при х =-оо и х=оо:

Многочлен / (х) обладает, следовательно, тремя действительными корнями. Для более точного определения положения этих корней продолжим предыдущую таблицу:

Таким образом, система Штурма многочлена Ј (х) теряет по одной перемене знаков при переходе х от-3 к-2, от-1 к 0 и от 0 к 1. Корни, а 1 а 2 и, а 3 этого многочлена удовлетворяют, следовательно, неравенствам:

— 3<�а 1<-2, — 1<�а 2<0, 0<�а 3<1.