Особые задачи. 
Теория автоматического управления. 
Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы

Как отмечалось, в функции Понтрягина.

(гамильтониане) Н = ^ ф{/, сопряженную координату фо обычно i=0.

выбирают равной ф₀ = — 1. Однако встречаются задачи, в которых оптимальным управлению и траектории соответствует ф₀ = 0. Такие задачи называются особыми.

Примером особых задач могут быть некорректно сформулированные задачи оптимального управления, например такие, у которых решения не зависят от критерия оптимальности или имеется только одно возможное допустимое управление. Для последних задач не существует возможности выбора наилучшего решения, и сама постановка задачи оптимального управления становится бессодержательной.

Пример 9.7. Найти решение следующей задачи оптимального управления:

Решение. Функция Понтрягина и сопряженное уравнение имеют вид

Из последнего уравнения находим = С.

В соответствии с принципом максимума если и* (t) — оптимальное управление и х*(?) — оптимальная траектория, то.

причем хро = const ^ 0.

Возможное допустимое управление — это кусочно непрерывная функция, удовлетворяющая ограничению |гг| ^ 1 и переводящая изображающую точку из начального положения х (0) = 0 в конечное положение х (1) = 1 за время tf = 1. Такое управление единственно, и оно равно u (t) = 1. Так как других допустимых управлений нет, то оно и должно быть решением задачи: = 1. При этом =.

= = С, и по принципу максимума должно выполнятся неравенство

при допустимом управлении, т. е. при |w (t)| < 1. При гро = 0 это неравенство выполняется. Однако при гр₀ = — 1 нельзя подобрать такое С, при котором данное неравенство выполняется. Следовательно, в данной задаче оптимальному решению соответствует xpQ ⁼ 0″.