Нелинейные модели парной регрессии и корреляции

Различают два класса нелинейных регрессий:

1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например

· полиномы различных степеней —, ;

· равносторонняя гипербола — ;

• · полулогарифмическая функция — .
• 2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например

· степенная — ;

· показательная — ;

· экспоненциальная — .

Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных (линеаризация), а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов. Рассмотрим некоторые функции.

Парабола второй степени приводится к линейному виду с помощью замены:. В результате приходим к двухфакторному уравнению, оценка параметров которого при помощи МНК, приводит к системе следующих нормальных уравнений:

(1.28).

А после обратной замены переменных получим.

(1.29).

Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую.

Равносторонняя гипербола приводится к линейному уравнению простой заменой:. Система линейных уравнений при применении МНК будет выглядеть следующим образом:

(1.30).

Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости, и другие.

Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не приводятся).

К внутренне линейным моделям относятся, например, степенная функция —, показательная —, экспоненциальная —, логистическая —, обратная — .

К внутренне нелинейным моделям можно, например, отнести следующие модели:, .

Среди нелинейных моделей наиболее часто используется степенная функция, которая приводится к линейному виду логарифмированием:

.

где. Т. е. МНК мы применяем для преобразованных данных:

(1.31).

а затем потенцированием находим искомое уравнение.

Широкое использование степенной функции связано с тем, что параметр в ней имеет четкое экономическое истолкование — он является коэффициентом эластичности.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:

. (1.32).

Так как для остальных функций коэффициент эластичности не является постоянной величиной, а зависит от соответствующего значения фактора, то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности:

. (1.33).

Приведем формулы для расчета средних коэффициентов эластичности для наиболее часто используемых типов уравнений регрессии:

Таблица 1.5.

Вид функции,.	Первая производная,.	Средний коэффициент эластичности,.	Линеаризация.
	;
Х1=х, Х2=х2.
Х=1/х,Y=y
Х=lnх,Y=lny
Х=х,Y=lny
Х=lnх,Y=y
Х=х,Y=lny
Х=х,Y=1/y

Уравнение нелинейной регрессии, так же, как и в случае линейной зависимости, дополняется показателем тесноты связи. В данном случае это индекс корреляции:

. (1.34).

Величина данного показателя находится в пределах:. Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

(1.35).

т.е. имеет тот же смысл, что и в линейной регрессии;

. (1.36).

Индекс детерминации можно сравнивать с коэффициентом детерминации для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина меньше. А близость этих показателей указывает на то, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию.

Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения регрессии покритерию Фишера:

(1.37).

где — индекс детерминации, — число наблюдений, — число параметров при переменной. Фактическое значениекритерия (1.23) сравнивается с табличным при уровне значимости и числе степеней свободы (для остаточной суммы квадратов) и (для факторной суммы квадратов).

О качестве нелинейного уравнения регрессии можно также судить и по средней ошибке аппроксимации, которая, так же как и в линейном случае, вычисляется по формуле (1.8).