Предельные теоремы и закон больших чисел

Если случайные величины распределены неодинаково достаточно выполнения условия.

(28).

где.

(29).

В практике радиотехника исследователя закон больших чисел означает следующее. Если провести серию N испытаний, то их результаты, несмотря на то, что условия проведения испытаний примерно одинаковы, могут сильно отличаться. Однако средние результаты большого (в пределе, бесконечно большого) числа испытаний устойчивы и практически не зависят от результатов индивидуальных испытаний. Суммируя сказанное, закон больших чисел выражает простое правило — совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, практически не зависящему от случая.

5. Теорема Ляпунова Сущность теоремы Ляпунова состоит в следующем. Пусть независимые случайные величины X1, X2,…, Xn имеют конечные математические ожидание a1, a2,…, an и конечные дисперсии. При этом число n стремится к бесконечности, что означает, что количество случайных величин неограниченно увеличивается. Тогда справедливо соотношение.

(30).

Здесь C1, C2,…, Cn — абсолютные центральные моменты третьего порядка. При условии, что (30) выполняется с достаточной степенью точности имеет место распределение.

(31).

Физический смысл условия (30) состоит в том, что действие каждого случайного фактора невелико по сравнению с их суммарным действием. Многие случайные явления, встречающиеся в радиотехнике, протекают именно по такой схеме.

Заключение

На практике очень важно знать условия, гарантирующие малую вероятность события или вероятность близкую к единице. В этом отношении закон больших чисел определяет совокупность предложений, утверждающих как угодно близкую к нулю или единице вероятностью события. При этом событие зависит от очень большого, в пределе, бесконечно большого числа случайных событий. Для соблюдения закона важно, чтобы каждое событие оказывало на результат незначительное влияние.

Более точная формулировка закона больших чисел утверждает, что с вероятностью, близкой к единице, отклонение среднего арифметического значения достаточно большого числа случайных событий от постоянной величины есть среднее арифметическое их математических ожиданий, не превышающее заданного сколь угодно малого числа.

В радиотехнике часто можно наблюдать отдельные явления, проявляющиеся как случайные (например, регистрируемая фаза сигнала в условиях действия помех). Данное наблюдение является следствием того, что такое явление является результатом действия множества факторов, не связанных с существом явления. Точно определить суммарное действие данных факторов на наблюдаемое явление не представляется возможным, ввиду их случайного характера. Иными словами по результатам одного наблюдаемого явления нельзя ничего сказать о закономерностях, присущих многим таким явлениям.

Давно было замечено, что среднее арифметическое числовых характеристик некоторых параметров при большом числе повторений опыта подвержено очень незначительным вариациям. Существо явления проявляется в среднем, при этом влияние отдельных факторов, делающих случайным результат единичного наблюдения, нивелируется.

Теоретически обоснование подобного поведения кроется в законе больших чисел. При выполнении некоторых, весьма общих условий устойчивость среднего арифметического будет событием с вероятностью близкой к единице. Данное условия и составляют важнейшее содержание закона больших чисел.

Известно, что сумма любого конечного числа независимых нормально распределенных случайных величин подчиняется нормальному закону распределения. Однако если независимые случайные величины не распределены по нормальному закону, то существуют некоторые весьма слабые ограничения, при выполнении которых их сумма будет также распределена нормально.

Решение этой задачи, данное русскими учеными П. Л. Чебышевым и его учениками А. А. Марковым и А. М. Ляпуновым, составляет основу центральной предельной теоремы.

Теорема Ляпунова имеет исключительно большое значение в физике, а нормальный закон распределения является одним из основных законов в статистической радиотехнике.

1. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. — М.: Радио и связь, 1989.

2. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. — М.: Радио и связь, 1982.

3. Белов П. В., Назаркин А. В., Черниговская Э. М. — Статистическая радиотехника. — М.: МИРЭА, 2005.

4. Самойло К. А., Витоль М. Р., Черниговская Э. М. Теория случайных процессов. — М.: МИРЭА, 1993.

5. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969.