Теплопроводность шаровой стенки и тел неправильной формы

Однородная шаровая стенка

Рассмотрим полый шар с внутренним радиусом r₁ и внешним r₂. Стенка шара состоит из однородного материала, коэффициент теплопроводности л, которого постоянен. Известны температуры внутренней и внешней поверхностей шара t₁ и t₂, причем t₁> t₂ (рис. 6). Изотермические поверхности представляют собой концентрические шаровые поверхности.

Рисунок 6 — Теплопроводность через шаровую однородную стенку.

Выделим внутри стенки шаровой слой радиусом r и толщиной dr ограниченный изотермическими поверхностями. Согласно закону Фурье тепловой поток, проходящий через этот слой, равен.

(44).

Разделив переменные, получим.

(45).

После интегрирования этого уравнения имеем.

(46).

Подставляя в уравнение (46) значения переменных величин на границах стенки (при r = r₁, t = t₁ и при r = r₂, t = t₂) и исключая постоянную С, получаем следующую расчетную формулу.

(47).

где д = (d₁-d₂)/2 — толщина стенки.

Уравнение температурной кривой внутри однородной шаровой стенки выводится из уравнения (в). Подставляя сюда значение Q и С, получаем.

Уравнение (48) представляет собой уравнение гиперболы. С учетом же зависимости коэффициента теплопроводности от температуры уравнение температурной кривой принимает следующий вид.

(49).