Теоретическая часть. 
Маятник Обербека

При изменении расстояния перемещаемых грузов от оси крестовины маятника Обербека угловое ускорение крестовины тем меньше, чем больше момент инерции тела J относительно оси вращения. Определить величину углового ускорения можно с помощью уравнения динамики вращательного движения:

(1).

где М — момент сил, действующих на маятник, Jмомент инерции маятника.

Ускорение a груза m0 связано с угловым ускорением формулой.

(2).

где d — диаметр диска, на который намотана нить.

Вращательный момент силы М, действующий на маятник, определяется выражением:

(4).

где Т — сила натяжения нити, MT — момент сил трения в оси.

С другой стороны, сила Т вместе с силой тяжести вызывает движение груза с ускорением a:

(5).

Отсюда момент силы можно выразить так:

(6).

Если подставить в (6) в (1), воспользовавшись формулой (2), получим выражение:

.

после преобразования которого уравнение динамики маятника Обербека приобретет вид:

(7).

Теоретическое значение момента инерции крестовины с 4-мя грузами.

. (8).

Здесь — суммарный момент инерции крестовины без грузов, -момент инерции подвижного груза относительно оси, проходящей через его центр масс и параллельной оси вращения крестовины, r — расстояние от оси вращения маятника до центра масс грузов, m — масса каждого из четырех подвижных грузов.

Величина в (8) есть момент инерции подвижного груза относительно оси вращения крестовины. При этом использована теорема Гюйгенса — Штейнера: момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

В данной работе необходимо определить постоянную часть момента инерции маятника Обербека — величину, не зависящую от расположения подвижных грузов на крестовине.

Поскольку величина момента трения в оси неизвестна, воспользоваться для этого впрямую формулой (7) нельзя.

Если рассмотреть два положения грузов относительно оси маятника — r1 и r2, то можно переписать дважды (7). С учетом (8) эти выражения приобретут вид:

(9).

(10).

Равенство правых частей этих равенств означает и равенство их левых частей:

(11).

Отсюда можно найти искомую величину :

(12).

Формула (12) являются расчетной в данной работе.